Sederhanakan ekspresi-ekspresi berikut:
(a) $f(t) = 5 \cos(2t + 15^\circ) – 4 \sin(2t – 30^\circ)$
(b) $g(t) = 8 \sin t + 4 \cos(t + 50^\circ)$
(c) $\displaystyle h(t) = \int_{0}^{t} (10 \cos 40t + 50 \sin 40t) \, dt$
Untuk mengerjakan soal ini, kamu bisa menggunakan metode fasor seperti yang sudah dibahas pada artikel ini. Namun, khusus bagian (c), kita harus menggunakan aturan kalkulus terhadap integral.
(a) $f(t) = 5 \cos(2t + 15^\circ) – 4 \sin(2t – 30^\circ)$
Karena bentuk polar tidak bisa ditambahi atau dikurangi, maka kita harus mengubahnya menjadi bentuk rektangular.
Konversi bagian kiri menjadi rektangular
$$5 \cos(2t + 15^\circ) = 5 \cos(15^\circ) + 5 \sin (15^\circ)$$
$$5 \cos(2t + 15^\circ) = 5 \times 0,965 + 5 \times 0,258$$
$$5 \cos(2t + 15^\circ) = 4,825 + j1,290$$
Konversi bagian kanan menjadi rektangular
$$-4 \sin(2t – 30^\circ) = 4 \cos(2t + 60^\circ)$$
$$-4 \sin(2t – 30^\circ) = 4 \cos(60^\circ) + 4 \sin (60^\circ)$$
$$-4 \sin(2t – 30^\circ) = 4 \times (0,5) + 4 \times (0,866)$$
$$-4 \sin(2t – 30^\circ) = 2 + j3,464$$
Catatan: kamu harus mengubah bentuk -sin menjadi bentuk cos terlebih dahulu
Hitung hasilnya
$$(4,825 + j1,290) + (2 + j3,464)$$
$$(4,825 + 2) + (j1,290 + j3,464)$$
$$6,825 + j4,754$$
Konversi ke polar
$$r = \sqrt{6,825^2 + 4,754^2} = \sqrt{46,580 + 22,600} = \sqrt{69,180} = 8,317$$
$$\theta = \tan^{-1}(4,754/6,825) = \tan^{-1}(0,696) = 34,83^\circ \text{(Kuadran II)}$$
$$8,317 \angle 34,83^\circ$$
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$8,317Â \angle 34,83^\circ$$
$$\mathbf{8,317 \cos(2t + 34,83^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(b) $g(t) = 8 \sin t + 4 \cos(t + 50^\circ)$
Karena bentuk polar tidak bisa ditambahi atau dikurangi, maka kita harus mengubahnya menjadi bentuk rektangular.
Konversi bagian kiri menjadi rektangular
$$8 \sin t = 8 \cos(t – 90^\circ)$$
$$8 \cos(t – 90^\circ) = 8 \cos(-90^\circ) + 8 \sin (-90^\circ)$$
$$8 \cos(t – 90^\circ) = 0 – j8$$
$$8 \cos(t – 90^\circ) = -j8$$
Catatan: kamu harus mengubah bentuk sin menjadi bentuk cos terlebih dahulu
Konversi bagian kanan menjadi rektangular
$$4 \cos(t + 50^\circ) = 4 \cos(50^\circ) + 4 \sin (50^\circ)$$
$$4 \cos(t + 50^\circ) = 4 \times 0,642 + 4 \times 0,766$$
$$4 \cos(t + 50^\circ) = 2,568 + j3,064$$
Hitung hasilnya
$$(-j8) + (2,568 + j3,064)$$
$$(0 + 2,568) + (-j8 + j3,064)$$
$$2,568 – j4,936$$
Konversi ke polar
$$r = \sqrt{2,568^2 + (-4,936)^2} = \sqrt{6,594 + 24,364} = \sqrt{30,958} = 5,531$$
$$\theta = \tan^{-1}((-4,936)/2,568) = \tan^{-1}(-1,922) = -62,51^\circ$$
$$5,531 \angle -62,51^\circ$$
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$5,531 \angle -62,51^\circ$$
$$\mathbf{5,531 \cos(t + -62,51^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(c) $\displaystyle h(t) = \int_{0}^{t} (10 \cos 40t + 50 \sin 40t) \, dt$
Untuk menyelesaikan integral fungsi sinusoidal, kamu bisa menggunakan aturan kalkulus dasar:
$$\int \cos(at) \, dt = \frac{1}{a} \sin(at)$$
$$\int \sin(at) \, dt = -\frac{1}{a} \cos(at)$$
Integralkan Fungsi
Kita integralkan dahulu fungsi cos dan sin
$$\displaystyle h(t) = 10 \int_{0}^{t} \cos(40t) + 50 \int_{0}^{t} \sin(40t) dt$$
$$\displaystyle h(t) = 10 \cdot \left[ \frac{1}{40} \sin(40t) \right]_{0}^{t} + 50 \cdot \left[ -\frac{1}{40} \cos(40t) \right]_{0}^{t}$$
Kita selesaikan batas masing – masing pada integral tersebut
$$\left[ \frac{1}{40} \sin(40t) \right]_{0}^{t} = \frac{1}{40} \sin(40t) – \frac{1}{40} \sin(0) = \frac{1}{40} \sin(40t)$$
$$\left[ -\frac{1}{40} \cos(40t) \right]_{0}^{t} = -\frac{1}{40} \cos(40t) + \frac{1}{40} \cos(0) = -\frac{1}{40} \cos(40t) + \frac{1}{40}$$
Kita kalikan fungsi cos dan sin dengan variabel tadi
$$10 \cdot \frac{1}{40} \sin(40t) = 0,25 \sin(40t)$$
$$50 \cdot -\frac{1}{40} \cos(40t) + 50 \cdot \frac{1}{40} = -1,25 \cos(40t) + 1,25$$
Kita susun ulang fungsi tersebut
$$\displaystyle h(t) = 0,25 \sin(40t) – 1,25 \cos(40t) + 1,25$$
Transformasi Rektangular
Ingat rumusnya yang sudah dibahas sebelumnya
$$V = V_m \cos(\omega t + \phi)$$
Ubah bentuk sin menjadi cos lalu ubah menjadi rektanguler
$$0,25 \sin(40t) = 0,25 \cos(40t – 90^\circ)$$
$$0,25 \cos(40t – 90^\circ) = 0,25 \cos(-90^\circ) + 0,25 \sin (-90^\circ)$$
$$0,25 \cos(40t – 90^\circ) = 0,25 – j0,25$$
$$0,25 \cos(40t – 90^\circ) = -j0,25$$
Ubah bentuk -cos menjadi cos lalu ubah menjadi rektanguler
$$-1,25 \cos(40t) = 1,25 \cos(40t – 180^\circ)$$
$$1,25 \cos(40t – 180^\circ) = 1,25 \cos(-180^\circ) + 1,25 \sin (-180^\circ)$$
$$1,25 \cos(40t – 180^\circ) = 1,25 \times (-1) + 0$$
$$1,25 \cos(40t – 180^\circ) = -1,25$$
Hasilnya menjadi
$$-1,25 – j0,25$$
Transformasi Polar
Ubah kembali menjadi bentuk polar
$$r = \sqrt{(-1,25)^2 + (-0,25)^2} = \sqrt{1,5625 + 0,0625} = \sqrt{1,625} = 1,274$$
$$\theta = \tan^{-1}((-0,25)/(-1,25)) = \tan^{-1}(0,20) = -169,70^\circ$$ (Kuadran II)
$$1,274 \angle -169,70^\circ$$
Transformasi Sinusoidal
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$1,274 \angle -169,70^\circ$$
$$1,274 \cos(40t + -169,70^\circ)$$
Hasil Akhir
$$\mathbf{1,274 \cos(40t + -169,70^\circ) + 1,25}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
Catatan: 1,25 berasal dari hasil integrasi
