Dengan menggunakan fasor, tentukan hasil dari:
(a) $3 \cos(20t + 10^\circ) – 5 \cos(20t – 30^\circ)$
(b) $40 \sin 50t + 30 \cos(50t – 45^\circ)$
(c) $20 \sin 400t + 10 \cos(400t + 60^\circ) – 5 \sin(400t – 20^\circ)$
Untuk mengerjakan soal ini, kita gunakan teknik konversi rektangular agar bisa dijumlahkan atau ditambahkan
Untuk mencari tahu caranya, kamu bisa mengunjungi artikel ini.
Untuk transformasi ke bentuk fasor, kamu bisa mengunjungi artikel ini.
(a) $3 \cos(20t + 10^\circ) – 5 \cos(20t – 30^\circ)$
Bentuk polar tidak bisa ditambahi atau dikurangi, sehingga kita harus mengubahnya menjadi bentuk rektangular.
Konversi bagian kiri menjadi rektangular
$$3 \cos(20t + 10^\circ) = 3 \cos(10^\circ) + 3 \sin (10^\circ)$$
$$3 \cos(20t + 10^\circ) = 3 \times 0,984 + 3 \times 0,173$$
$$3 \cos(20t + 10^\circ) = 2,952 + j0,519$$
Konversi bagian kanan menjadi rektangular
$$-5 \cos(20t + -30^\circ) = -5 \cos(-30^\circ) – 5 \sin (-30^\circ)$$
$$-5 \cos(20t + -30^\circ) = 5 \times 0,866 + 5 \times (-0,5)$$
$$-5 \cos(20t + -30^\circ) = 4,330 – j2,500$$
Hitung hasilnya
$$(2,952 + j0,519) – (4,330 – j2,500)$$
$$(2,952 – 4,330) + (j0,519 + j2,500)$$
$$-1,378 + j3,019$$
Konversi ke polar
$$r = \sqrt{(-1,378)^2 + 3,019^2} = \sqrt{1,898 + 9,114} = \sqrt{11,012} = 3,318$$
$$\theta = tan^{-1}(3,019/(-1,378)) = tan^{-1}(-2,190) = 115,55^\circ$$ (Kuadran II)
$$3,318 \angle 115,55^\circ$$
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$3,318 \angle 115,55^\circ$$
$$\mathbf{3,318 \cos(20t + 115,55^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(b) $40 \sin 50t + 30 \cos(50t – 45^\circ)$
Sama seperti sebelumnya, bentuk polar harus diubah menjadi rektangular
Konversi bagian kiri menjadi rektangular
$$40 \sin 50t = 40 \cos(50t – 90^\circ)$$
$$40 \cos(50t – 90^\circ) = 40 \cos(-90^\circ) + 40 \sin (-90^\circ)$$
$$40 \cos(50t – 90^\circ) = 0 – j40$$
$$40 \cos(50t – 90^\circ) = -j40$$
Catatan: kamu harus mengubah bentuk sin menjadi bentuk cos terlebih dahulu
Konversi bagian kanan menjadi rektangular
$$30 \cos(50t – 45^\circ) = 30 \cos(-45^\circ) + 30 \sin (-45^\circ)$$
$$30 \cos(50t – 45^\circ) = 30 \times 0,707 + 30 \times (-0,707)$$
$$30 \cos(50t – 45^\circ) = 21,21 – j21,21$$
Hitung hasilnya
$$(-j40) + (21,21 + j21,21)$$
$$(0 + 21,21) + (-j40 – j21,21)$$
$$21,21 – j61,21$$
Konversi ke polar
$$r = \sqrt{21,21^2 + (-61,21)^2} = \sqrt{449,864 + 3746,664} = \sqrt{4196,528} = 64,780$$
$$\theta = tan^{-1}((-61,21)/21,21) = tan^{-1}(-2,885) = -70,88^\circ$$ (Kuadran II)
$$64,780 \angle -70,88^\circ$$
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$64,780 \angle -70,88^\circ$$
$$\mathbf{64,780Â \cos(50t – 70,88^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
(c) $20 \sin 400t + 10 \cos(400t + 60^\circ) – 5 \sin(400t – 20^\circ)$
Sama seperti sebelumnya, bentuk polar harus diubah menjadi rektangular
Konversi bagian kiri menjadi rektangular
$$20 \cos(400t – 90^\circ) = 20 \cos(-90^\circ) + 20 \sin (-90^\circ)$$
$$20 \cos(400t – 90^\circ) = 0 – j20$$
$$20 \cos(400t – 90^\circ)Â = -j20$$
Catatan: kamu harus mengubah bentuk sin menjadi bentuk cos terlebih dahulu
Konversi bagian tengah menjadi rektangular
$$10 \cos(400t + 60^\circ) = 10 \cos(60^\circ) + 10 \sin (60^\circ)$$
$$10 \cos(400t + 60^\circ) = 10 \times 0,5 + 10 \times 0,866$$
$$10 \cos(400t + 60^\circ) = 5 + j8,660$$
Konversi bagian kanan menjadi rektangular
$$-5 \sin(400t – 20^\circ) = 5 \cos(400t + 70^\circ)$$
$$5 \cos(400t + 70^\circ)Â = 5 \cos(70^\circ) + 5 \sin (70^\circ)$$
$$5 \cos(400t + 70^\circ) = 5 \times (0,342) + 5 \times (0,939)$$
$$5 \cos(400t + 70^\circ) = 1,710 + j4,695$$
Catatan: kamu harus mengubah bentuk -sin menjadi bentuk cos terlebih dahulu
Hitung hasilnya
$$(-j20) + (5 + j8,660) + (1,710 + j4,695)$$
$$(0 + 5 + 1,710) + (-j20 + j8,660 + j4,695)$$
$$6,710 – j6,645$$
Konversi ke polar
$$r = \sqrt{6,710^2 + (-6,645)^2} = \sqrt{45,024 + 44,156} = \sqrt{89,98} = 9,485$$
$$\theta = tan^{-1}((-6,645)/6,710) = tan^{-1}(-0,990) = -44,71^\circ$$ (Kuadran II)
$$9,485 \angle -44,71^\circ$$
Transformasi ke bentuk sinusoidal
$$X = X_m \cos(\omega t + \phi)$$
$$9,485 \angle -44,71^\circ$$
$$\mathbf{9,485 \cos(400t – 44,71^\circ)}$$
Catatan: nilai $\omega$ tidak berubah sama sekali selama transformasi
