Sebuah cabang tegangan dideskripsikan sebagai
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 4\frac{dv}{dt} + 8v = 48$$
Dengan kondisi awal $i(0) = 0\text{V}$ dan $\frac{di(0)}{dt} = 0\text{V/s}$.
Tentukan ekspresi tegangan $v(t)$ untuk $t > 0$.
Pengerjaan soal ini melibatkan dua solusi, yaitu solusi homogen dan solusi partikular. Hasil akhirnya adalah
$$v(t) = v_h(t) + v_p(t)$$
Untuk mencari solusi homogen, kamu bisa mencari tahu di artikel ini
Solusi Homogen
Untuk menyelesaikan dengan solusi homogen, kita buat hasilnya sama dengan nol
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 4\frac{dv}{dt} + 8v = 0$$
Kita ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 4s + 8 = 0$$
Gunakan rumus kuadratik untuk mencari akar-akarnya
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
$$\frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4(1)(8)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 32}}{2}$$
$$\frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$$
Karena akar-akarnya adalah bilangan imajiner, maka kita buat menjadi
$$\alpha \pm \beta \text{i} \implies y = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin (\beta t))$$
$$-2 \pm 2i \implies \mathbf{v_h(t) = e^{-2t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))}$$
Solusi Partikular
Untuk menyelesaikan dengan solusi partikular, kita buat turunannya sama dengan nol
$$0 + 0 + 8v_p(t) = 48$$
$$8v_p(t) = 48 \rightarrow \mathbf{v_p(t) = 6}$$
Solusi Akhir
Kita gabungkan hasil homogen dan hasil partikular
$$v(t) = v_h(t) + v_p(t)$$
$$v(t) = e^{-2t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 6$$
Kita substitutusi nilai awal arus
$$v(0) = e^{-0}(C_1 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0))) + 6$$
$$0 = (C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)) + 6$$
$$0 = (C_1 + 0) + 6$$
$$\mathbf{C_1 = -6}$$
Kita susun ulang persamaan
$$v(t) = e^{-2t}(-6 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 6$$
Dengan aturan perkalian, kita selesaikan satu per satu
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = \left[u \cdot v’ + u’ \cdot v\right]$$
$$\frac{d}{dt}(e^{-2t}(-6 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)))$$
- Turunan dari $e^{-2t}$ adalah $-2e^{-t}$
- Turunan dari $-6 \cos (2t)$ adalah $12 \sin (2t)$
- Turunan dari $C_2 \sin (2t)$ adalah $2C_2 \cos (2t)$
$$\frac{di(t)}{dt} = (e^{-2t})(12 \sin (2t) + 2C_2 \cos (2t)) + (-2e^{-2t})(-6 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))$$
Kita substitusi nilai awal turunan arus
$$\frac{di(0)}{dt} = (e^{0})(12 \sin (2(0)) + 2C_2 \cos (2(0))) + (-2e^{0})(-6 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0)))$$
$$0 = (12 \sin (0) + 2C_2 \cos (0)) – (-12 \cos (0) + 2C_2 \sin (0))$$
$$0 = (0 + 2C_2) – (-12 + 0)$$
$$0 = 2C_2 + 12$$
$$2C_2 = -12$$
$$\mathbf{C_2 = -6}$$
Kita susun ulang persamaan tersebut
$$\mathbf{v(t) = 6 + e^{-2t}(-6 \cos (2t) – 6 \sin (2t))\text{V}}$$
$$\mathbf{v(t) = 6 \left[1 – e^{-2t}(\cos (2t) + \sin(2t))\right]\text{V}}$$
