Diberikan persamaan diferensial untuk step response rangkaian $RLC$:
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 2\frac{di}{dt} + 5i = 10$$
Dengan kondisi awal $i(0) = 6\text{ A}$ dan $\frac{di(0)}{dt} = 12\text{ A/s}$.
Tentukan ekspresi arus $i(t)$ untuk $t > 0$.
Pengerjaan soal ini melibatkan dua solusi, yaitu solusi homogen dan solusi partikular. Hasil akhirnya adalah
$$i(t) = i_h(t) + i_p(t)$$
Untuk mencari solusi homogen, kamu bisa mencari tahu di artikel ini
Solusi Homogen
Untuk menyelesaikan dengan solusi homogen, kita buat hasilnya sama dengan nol
$$\frac{d^2i}{dt^2} + 2\frac{di}{dt} + 5i = 0$$
Kita ubah menjadi persamaan kuadrat
$$s^2 + 2s + 5 = 0$$
Gunakan rumus kuadratik untuk mencari akar-akarnya
$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$
$$\frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(5)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 20}}{2}$$
$$\frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
Karena akar-akarnya adalah bilangan imajiner, maka kita buat menjadi
$$\alpha \pm \beta \text{i} \implies y = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin (\beta t))$$
$$-1 \pm 2i \implies \mathbf{i_h(t) = e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))}$$
Solusi Partikular
Untuk menyelesaikan dengan solusi partikular, kita buat turunannya sama dengan nol
$$0 + 0 + 5i_p(t) = 10$$
$$5i_p(t) = 10 \rightarrow \mathbf{i_p(t) = 2}$$
Solusi Akhir
Kita gabungkan hasil homogen dan hasil partikular
$$i(t) = i_h(t) + i_p(t)$$
$$i(t) = e^{-t}(C_1 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 2$$
Kita substitutusi nilai awal arus
$$i(0) = e^{-0}(C_1 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0))) + 2$$
$$6 = (C_1 \cos (0) + C_2 \sin (0)) + 2$$
$$6 = (C_1 + 0) + 2$$
$$\mathbf{C_1 = 4}$$
Kita susun ulang persamaan
$$i(t) = e^{-t}(4 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)) + 2$$
Dengan aturan perkalian, kita selesaikan satu per satu
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = \left[u \cdot v’ + u’ \cdot v\right]$$
$$\frac{d}{dt}(e^{-t}(4 \cos (2t) + C_2 \sin (2t)))$$
- Turunan dari $e^{-t}$ adalah $-e^{-t}$, ini adalah $(u \implies u’)$
- Turunan dari $4 \cos (2t)$ adalah $-8 \sin (2t)$, ini adalah $(v_1 \implies v_1′)$
- Turunan dari $C_2 \sin (2t)$ adalah $2C_2 \cos (2t)$, ini adalah $(v_2 \implies v_2′)$
$$\frac{di(t)}{dt} = (e^{-t})(-8 \sin (2t) + 2C_2 \cos (2t)) + (-e^{-t})(4 \cos (2t) + C_2 \sin (2t))$$
Kita substitusi nilai awal turunan arus
$$\frac{di(0)}{dt} = (e^{0})(-8 \sin (2(0)) + 2C_2 \cos (2(0))) + (-e^{0})(4 \cos (2(0)) + C_2 \sin (2(0)))$$
$$12 = (-8 \sin (0) + 2C_2 \cos (0)) – (4 \cos (0) + C_2 \sin (0))$$
$$12 = (0 + 2C_2) – (4 + 0)$$
$$12 = 2C_2 – 4$$
$$2C_2 = 12 + 4$$
$$\mathbf{C_2 = 8}$$
Kita susun ulang persamaan tersebut
$$\mathbf{i(t) = 2 + e^{-t}(4 \cos (2t) + 8 \sin (2t))\text{A}}$$
