Respon alami dari sebuah sirkuit RLC dideskripsikan oleh persamaan diferensial
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 2\frac{dv}{dt} + v = 0$$
untuk kondisi awal dimana $v(0) = 20 \text{V}$ dan $\frac{dv(0)}{dt} = 0$. Hitung nilai $v(t)$
Untuk mengerjakan soal ini, kita menggunakan cara yang sedikit kompleks. Kamu bisa mengunjungi artikel ini untuk memahami sedikit.
Transformasi Persamaan
Kita transformasikan bentuknya menjadi persamaan kuadrat dan cari solusinya.
- $\frac{d^2v}{dt^2} = s^2$
- $\frac{dv}{dt} = s$
- $v = konstanta$
$$\frac{d^2v}{dt^2} + 2\frac{dv}{dt} + 1 = 0$$
$$s^2 + 2s + 1 = 0$$
$$(s + 1)^2$$
$$s_1 = -1 \ \text{dan} \ s_2 = -1$$
Cari Akar-Akar Persamaan
Ada beberapa aturan penyusunan solusi yang harus diketahui mengenai akar-akar persamaan diferensial ini.
- Akar-Akar Kembar: $$y = (C_1 + C_2t)e^{rt}$$
- Akar-Akar Berbeda: $$y = C_1e^{r_1t} + C_2e^{r_2t}$$
- Akar-Akar Imajiner: $$y = e^{\alpha t}(C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin (\beta t))$$
Karena akar-akarnya kembar, kita buat solusinya menjadi
$$v(t) = (C_1 + C_2t)e^{-t}$$
Substitusi Nilai-Nilainya
Kita coba substitusi nilai pertama
$$v(0) = (C_1 + C_2(0))e^{-(0)}$$
$$20 = C_1e^0$$
$$\mathbf{C_1 = 20}$$
Kita substitusi nilai $C_1$ tersebut
$$v(t) = (20 + C_2t)e^{-t}$$
Untuk menurunkannya, kita gunakan aturan rantai
$$\frac{d}{dt}(u \cdot v) = \left[u \cdot v’ + u’ \cdot v \right]$$
$$\frac{d}{dt}((20 + C_2t) \cdot (e^{-t}))$$
- Turunan dari $(20 + C_2t)$ adalah $C_2$
- Turunan dari $(e^{-t})$ adalah $-e^{-t}$
$$\frac{di(t)}{dt} = (20 + C_2t) \cdot -e^{-t} + C_2 \cdot e^{-t}$$
Kita coba substitusikan nilai kedua
$$\frac{di(0)}{dt} = (20 + C_2(0)) \cdot -e^{-(0)} + C_2 \cdot e^{-(0)} = 0$$
$$(20 + 0) \cdot -e^0 + C_2 \cdot e^0 = 0$$
$$20 \cdot -(1) + C_2 \cdot 1 = 0$$
$$-20 + C_2 = 0 \rightarrow \mathbf{C_2 = 20}$$
Susun Ulang Persamaan
Dengan $C_1 = 20$ dan $C_2 = 20$, maka persamaannya menjadi
$$\mathbf{v(t) = (20 + 20t)e^{-t} \ \text{V untuk t} > 0}$$
$$\mathbf{v(t) = 20(1 + t)e^{-t} \ \text{V untuk t} > 0}$$
