Sebuah rangkaian dideskripsikan oleh persamaan:
$$\frac{di}{dt} + 3i = 2u(t)$$
Tentukan $i(t)$ untuk $t > 0$ jika diketahui kondisi awal $i(0) = 0$.
Pengerjaan soal ini sudah pernah dibahas pada artikel ini. Intinya kamu harus menentukan solusi homogen dan solusi partikular dan menjumlahkan keduanya.
Tentukan Solusi Homogen
Untuk mencari solusi homogen, kita buat hasilnya adalah nol
$$\frac{di}{dt} + 3i = 0$$
$$\frac{di}{dt} = -3i$$
$$\frac{1}{i}di = -3 dt$$
Catatan: integral dari $\frac{1}{x}dx$ adalah $\ln (x)$
$$\ln (i) = -3t + C$$
Ubah ke bentuk domain waktu:
$$e^{\ln (i)} = e^{-3t + C}$$
$$i = e^{-3t} \cdot e^{C}$$
$$i = e^{-3t} C$$
$$i = Ce^{-3t}$$
Catatan: eksponensial dengan logartima natural menghasilkan 1
Tentukan Solusi Partikular
Untuk $t > 0$, $u(t) = 2$. Karena inputnya konstan, kita asumsikan $i_p$ adalah konstanta $K$.
Nilai dari $\frac{di}{dt} = 0$
$$0 + 3K = u(t)$$
$$0 + 3K = 2 \rightarrow i_p = \frac{2}{3}$$
Ubah ke bentuk domain waktu
$$i_p(t) = \frac{2}{3}$$
Tentukan Solusi Akhir
Kita susun solusi akhir
$$i(t) = i_h(t) + i_p(t)$$
$$i(t) = Ce^{-3t} + \frac{2}{3}$$
Substitusi nilai yang ada
$$0 = Ce^{-0} + \frac{2}{3}$$
$$0 = C + \frac{2}{3} \rightarrow C = -\frac{2}{3}$$
Susun ulang persamaan
$$\mathbf{v(t) = \left(-\frac{2}{3}e^{-t} + \frac{2}{3} \right) u(t) \text{A}}$$
$$\mathbf{v(t) = \frac{2}{3}(-e^{-t} + 1) u(t) \text{A}}$$
