Perhatikan rangkaian pada Gambar. Jika diketahui:
$$v = 150e^{-50t} \text{ V}$$
$$i = 30e^{-50t} \text{ A, untuk } t > 0$$
(a) Tentukan nilai induktansi $L$ dan resistansi $R$.
(b) Tentukan konstanta waktu ($\tau$).
(c) Hitunglah energi awal yang tersimpan di dalam induktor.
(d) Berapa fraksi (persentase) dari energi awal yang telah didisipasikan (dibuang) dalam waktu 10 ms?
Untuk mengerjakan soal ini, kamu bisa mempelajarinya melalui artikel ini.
(a) Tentukan nilai induktansi $L$ dan resistansi $R$.
Resistansi adalah perbandingan antara tegangan dan arus.
$$R = \frac{v(t)}{i(t)}$$
$$R = \frac{150e^{-50\text{t}}}{30e^{-50\text{t}}}$$
$$R = \frac{150}{30} \times \frac{e^{-50\text{t}}}{e^{-50\text{t}}}$$
$$\mathbf{R = 5 \ \Omega}$$
Induktansi adalah perkalian tegangan dengan turunan arus terhadap waktu
$$v_i = L \frac{di_L}{dt}$$
Perhatikan bahwa arus mengalir keluar dari terminal positif
$$v_i = -v_i = -L \frac{di_L}{dt}$$
Kita turunkan dahulu arus terhadap waktu
$$\frac{di_L}{dt} = \frac{d}{dt}(30e^{-50\text{t}}) = -1500e^{-50 \text{t}}$$
Ingat, turunan dari $e^{at}$ adalah $ae^{at}$
Nah, sekarang kita substitusikan nilai tegangan
$$v(t) = v = 150e^{-50\text{t}} = -L \cdot -1500e^{-50 \text{t}}$$
$$L = \frac{-150e^{-50^\text{t}}}{-1500e^{-50^\text{t}}}$$
$$L = \frac{-150}{-1500} \cdot \frac{e^{-50^\text{t}}}{e^{-50^\text{t}}}$$
$$\mathbf{L = 0,1 \ \text{H}}$$
(b) Tentukan konstanta waktu ($\tau$).
Karena yang diketahui adalah induktor, maka kita gunakan rumus
$$\tau = \frac{L}{R}$$
$$\tau = \frac{0,1}{5}$$
$$\mathbf{\tau = 0,02 \ \text{s}}$$
(c) Hitunglah energi awal yang tersimpan di dalam induktor.
Rumus energi dari induktor adalah
$$w = \frac{1}{2}LI^2$$.
Energi awal dimulai dari $t = 0$
$$i(0) = 30 e^{-50{0}} = 30e^0 = 30$$
$$w = \frac{1}{2}(0,1)(30)^2$$
$$w = 0,5 \cdot 0,1 \cdot 900$$
$$\mathbf{w = 45 \ \text{J}}$$
(d) Berapa fraksi (persentase) dari energi awal yang telah didisipasikan (dibuang) dalam waktu 10 ms?
Substitusikan dahulu energi pada saat $10 \ \text{ms}$
$$i(0,01) = 30 e^{-50 \cdot {0,01}} = 30e^{-0,5} = 18,18$$
$$w = \frac{1}{2}(0,1)(18,18)^2$$
$$w = 0,5 \cdot 0,1 \cdot 330,51$$
$$\mathbf{w = 16,52 \ \text{J}}$$
Bagikan dengan energi pada saat $0 \ \text{ms}$
$$\frac{w_L(0,01)}{w_L(0)} = \frac{16,52}{45} = 0,3671$$
Catatan: nilainya sama saja dengan $e^{-1}$
Maka energi yang tersisa adalah
$$1 – 0,3671 = 0,6329 = 63,29\text{%}$$
