Perhatikan rangkaian pada Gambar. Untuk $t > 0$, diketahui nilai tegangan dan arusnya adalah:
$$v(t) = 20e^{-10^3t} \text{ V} \text{ dan } i(t) = 4e^{-10^3t} \text{ mA}$$
(a) Tentukan nilai resistansi $R$, induktansi $L$, dan konstanta waktu $\tau$.
(b) Hitunglah energi yang diserap (didisipasikan) oleh resistor dalam rentang waktu $0 < t < 0,5$ ms.
(a) Tentukan nilai resistansi $R$, induktansi $L$, dan konstanta waktu $\tau$.
Resistansi adalah perbandingan antara tegangan dan arus.
$$R = \frac{v(t)}{i(t)}$$
$$R = \frac{20e^{-10^3\text{t}}}{4e^{-10^3\text{t}} \times 10^{-3}}$$
$$R = \frac{20}{4 \times 10^{-3}} \times \frac{e^{-4\text{t}}}{e^{-4\text{t}}}$$
$$\mathbf{R = 5000 \ \Omega}$$
Tegangan adalah perkalian induktansi dengan turunan arus terhadap waktu
$$v_i = L \frac{di_L}{dt}$$
Perhatikan bahwa arus mengalir keluar dari terminal positif
$$v_i = -v_i = -L \frac{di_L}{dt}$$
Kita turunkan dahulu arus terhadap waktu
$$\frac{di_L}{dt} = \frac{d}{dt}(4e^{-10^3\text{t}} \times 10^{-3}) = -4e^{-10^3 \text{t}}$$
Ingat, turunan dari $e^{at}$ adalah $ae^{at}$
Nah, sekarang kita substitusikan nilai tegangan
$$v(t) = v = 20e^{-10^3t} = -L \cdot -4e^{-10^3t}$$
$$L = \frac{-20e^{-10^3t}}{-4e^{-10^3t}}$$
$$L = \frac{-20}{-4} \cdot \frac{e^{-10^3t}}{e^{-10^3t}}$$
$$\mathbf{L = 5 \ \text{H}}$$
Karena yang diketahui adalah induktor, maka kita gunakan rumus
$$\tau = \frac{L}{R}$$
$$\tau = \frac{5}{5000}$$
$$\mathbf{\tau = 0,001 \ \text{s}}$$
(b) Hitunglah energi yang diserap (didisipasikan) oleh resistor dalam rentang waktu $0 < t < 0,5$ ms.
Kita tahu bahwa energi adalah perkalian antara tegangan dengan arus. Lebih tepatnya adalah integrasi daya terhadap waktu (karena ada batas waktu).
$$W = \int v(t) \cdot i(t) {dt}$$
$$W = \int_{0}^{0,0005} (20e^{-1000t})(4 \times 10^{-3}e^{-1000t}) {dt}$$
$$W = (20)(4 \times 10^{-3}) \int_{0}^{0,0005} (e^{-1000t})(e^{-1000t})$$
$$W = 0,08 \int_{0}^{0,0005} e^{-2000t}$$
$$W = 0,08 \left[-\frac{1}{2000} e^{-2000t}\right]_{0}^{0,0005}$$
$$W = 0,08 \left[\left(-\frac{1}{2000} e^{-2000(0,0005)}\right) – \left(-\frac{1}{2000} e^{2000(0)}\right)\right]$$
$$W = 0,08 \left((-0,0005 e^{-1}) – (-0,0005 e^{0})\right)$$
$$W = 0,08 ((-0,0005)(0,367) + (0,0005)(1))$$
$$W = 0,08 (-0,000183 + 0,000500)$$
$$W = 0,08(0,000317)
$$\mathbf{W = 2,528 \times 10^{-5} \ \text{Joule}}$$
Bisa disederhanakan menjadi
$$\mathbf{W = 25,28 \ \mu \ \text{Joule}}$$
