Sebuah rangkaian empat-kawat hubung bintang-bintang (Wye-Wye) memiliki nilai tegangan fasa sumber sebagai berikut:
- $\mathbf{V}_{an} = 120 \angle 120^\circ\text{ V rms}$
- $\mathbf{V}_{bn} = 120 \angle 0^\circ\text{ V rms}$
- $\mathbf{V}_{cn} = 120 \angle -120^\circ\text{ V rms}$
Jika diketahui nilai impedansi beban per fasa tidak seimbang adalah:
- $\mathbf{Z}_{AN} = 20 \angle 60^\circ\ \Omega$
- $\mathbf{Z}_{BN} = 30 \angle 0^\circ\ \Omega$
- $\mathbf{Z}_{CN} = 40 \angle 30^\circ\ \Omega$
Hitunglah besar arus yang mengalir pada saluran netral ($\mathbf{I}_n$)!
Karakteristik Sistem Empat-Kawat Tidak Seimbang
Pada sistem Bintang-Bintang (Y-Y) seimbang, arus yang mengalir pada ketiga kawat fasa akan saling meniadakan di titik netral, sehingga arus kawat netral bernilai nol ($\mathbf{I}_n = 0$). Namun, pada soal ini, nilai impedansi pada tiap fasa berbeda-beda ($\mathbf{Z}_{AN} \neq \mathbf{Z}_{BN} \neq \mathbf{Z}_{CN}$), yang menjadikannya sistem tidak seimbang. Akibatnya, akan ada arus sisa yang mengalir kembali melalui kawat netral.
Menghitung Arus Saluran Fasa ($\mathbf{I}_a, \mathbf{I}_b, \mathbf{I}_c$)
Karena diasumsikan tidak memiliki impedansi saluran kawat transmisi, tegangan fasa pada beban sama dengan tegangan fasa sumber ($\mathbf{V}_{AN} = \mathbf{V}_{an}$, $\mathbf{V}_{BN} = \mathbf{V}_{bn}$, dan $\mathbf{V}_{CN} = \mathbf{V}_{cn}$). Sesuai Hukum Ohm, arus masing-masing fasa dicari dengan:
$$\mathbf{I}_a = \frac{\mathbf{V}_{an}}{\mathbf{Z}_{AN}}, \quad \mathbf{I}_b = \frac{\mathbf{V}_{bn}}{\mathbf{Z}_{BN}}, \quad \mathbf{I}_c = \frac{\mathbf{V}_{cn}}{\mathbf{Z}_{CN}}$$
Kita cari nilai masing-masing arus
- Arus bagian a:
$$\mathbf{I}_a = \frac{\mathbf{V}_{an}}{\mathbf{Z}_{AN}}$$
$$\mathbf{I}_a = \frac{120 \angle 120^\circ}{20 \angle 60^\circ}$$
$$\mathbf{I}_a = \frac{120}{20} \angle (120^\circ – 60^\circ)$$
$$\mathbf{I}_a = 6 \angle 60^\circ$$
- Arus bagian b:
$$\mathbf{I}_b = \frac{\mathbf{V}_{bn}}{\mathbf{Z}_{BN}}$$
$$\mathbf{I}_b = \frac{120 \angle 0^\circ}{30 \angle 0^\circ}$$
$$\mathbf{I}_b = \frac{120}{30} \angle (0^\circ – 0^\circ)$$
$$\mathbf{I}_b = 4 \angle 0^\circ$$
- Arus bagian c:
$$\mathbf{I}_c = \frac{\mathbf{V}_{cn}}{\mathbf{Z}_{CN}}$$
$$\mathbf{I}_c = \frac{120 \angle -120^\circ}{40 \angle 30^\circ}$$
$$\mathbf{I}_c = \frac{120}{40} \angle (-120^\circ – 30^\circ)$$
$$\mathbf{I}_c = 3 \angle -150^\circ$$
Hukum Kirchoff Arus (KCL) pada Titik Netral Beban
Berdasarkan Hukum Kirchoff Arus (KCL) di titik pertemuan netral beban ($N$), jumlah semua arus fasa yang masuk ke titik netral harus sama dengan arus yang keluar menuju kawat netral ($\mathbf{I}_n$):
$$\mathbf{I}_a + \mathbf{I}_b + \mathbf{I}_c + \mathbf{I}_n = 0 \implies \mathbf{I}_n = -(\mathbf{I}_a + \mathbf{I}_b + \mathbf{I}_c)$$
Kita konversi masing-masing arus ke dalam bentuk rektangular
- Arus bagian a:
$$\mathbf{I}_a = 6 \cos(60^\circ) + j6 \sin(60^\circ)$$
$$\mathbf{I}_a = 6 \cdot 0,5 + j6 \cdot 0,866$$
$$\mathbf{I}_a = 3 + j5,196$$
- Arus bagian b:
$$\mathbf{I}_b = 4 \cos(0^\circ) + j4 \sin(0^\circ)$$
$$\mathbf{I}_b = 4 \cdot 1 + j4 \cdot 0$$
$$\mathbf{I}_b = 4 + j0$$
- Arus bagian c:
$$\mathbf{I}_c = 3 \cos(-150^\circ) + j3 \sin(-150^\circ)$$
$$\mathbf{I}_c = 3 \cdot (-0,866) – j3 \cdot 0,5$$
$$\mathbf{I}_c = -2,598 – j1,5$$
Kita jumlahkan semua arus
$$I_{total} = \mathbf{I}_a + \mathbf{I}_b + \mathbf{I}_c$$
$$I_{total} = (3 + j5,196) + (4 + j0) + (-2,598 – j1,5)$$
$$I_{total} = 4,402 + j3,696$$
Kita hitung arus kawat netral
$$I_n = -I_{total}$$
$$I_n = -(4,402 + j3,696)$$
$$I_n = -4,402 – j3,696 \text{ A}$$
Kita ubah bentuknya menjadi polar
$$I_n = \sqrt{(-4,402)^2 + (-3,696)^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{-3,696}{-4,402} \right)$$
$$I_n = \sqrt{19,377 + 13,660} \angle \tan^{-1}(0,839) – 180^\circ$$
$$I_n = \sqrt{33,037} \angle 39,996^\circ – 180^\circ$$
$$I_n = 5,747 \angle -140,004^\circ$$
Catatan: sudut dikurangi sebesar $180^\circ$ karena terletak di kuadran II
