Selesaikan persamaan diferensial parsial homogen dalam koordinat bola berikut:
$$\frac{1}{40} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right)$$
Syarat Batas (Boundary Conditions):
- $r = 0 \implies \frac{\partial T}{\partial r} = 0$
- $r = 2 \implies T = 0$
Syarat Awal (Initial Condition):
- $t = 0 \implies T = 150$
Konsep Dasar
Persamaan di atas memodelkan perpindahan panas konduksi pada sebuah bola pejal berjejari $R = 2$.
Untuk menyelesaikan bagian ruangnya, kita bisa menjabarkan turunan di sisi kanan terlebih dahulu menggunakan aturan perkalian:
$$\color{red} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right)$$
Ingat penyelesaian aturan perkalian
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v) = [uv’ + v’u]$$
Kita substitusikan variabel beserta turunannya
- $u = r^2 \implies du = 2r$
- $v = \frac{\partial T}{\partial r} \implies dv = \frac{\partial^2 T}{\partial r^2}$
$$\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial T}{\partial r} \right) = \left(r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + 2r\frac{\partial T}{\partial r} \right)$$
Kita kalikan dengan konstanta
$$\frac{1}{r^2}\left(r^2\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + 2r\frac{\partial T}{\partial r} \right)$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r}$$
Maka persamaan disederhanakan menjadi
$$\frac{1}{40} \frac{\partial T}{\partial t} = \color{red} \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r}$$
Penyederhanaan Persamaan
Untuk menghilangkan gangguan suku kelengkungan tersebut, kita definisikan variabel baru:
$$u = r \cdot T \implies T = \frac{u}{r}$$
Sekarang, mari kita cari turunan-turunan dari $T$ untuk disubstitusikan kembali ke persamaan awal.
Turunan terhadap Waktu ($t$):
Karena variabel $r$ dianggap konstan saat menurunkan terhadap $t$:
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1}{r} \cdot u \implies \color{red} \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial t}$$
Turunan Pertama terhadap Ruang:
$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{1}{r} \cdot u \right)$$
$$\frac{\partial T}{\partial r} = \color{red} \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} – \frac{u}{r^2}$$
Turunan Kedua terhadap Ruang:
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} – \frac{1}{r^2} \cdot u \right)$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \left(\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} – \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} \right) – \left(\frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} – \frac{2u}{r^3} \right)$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} – \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} – \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2u}{r^3}$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} = \color{red} \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} – \frac{2}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2u}{r^3}$$
Selesaikan persamaan dengan substitusi
$$\frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r}$$
$$\left(\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} – \frac{2}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2u}{r^3} \right) + \frac{2}{r}\left(\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} – \frac{u}{r^2} \right)$$
$$\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} – \color{blue} \frac{2}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2}{r^2} \cdot \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{2u}{r^3} – \frac{2u}{r^3}$$
$$\color{red} \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$
Substitusikan hasilnya ke persamaan awal
$$\frac{1}{40} \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial r^2} + \frac{2}{r}\frac{\partial T}{\partial r}$$
$$\frac{1}{40} \cdot \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$
$$\frac{1}{40} \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$
$$\frac{\partial u}{\partial t} = 40 \frac{\partial^2 u}{\partial r^2}$$
Pemisahan Variabel
Katakanlah kita bisa menggunakan substitusi variabel
$$u(r,t) = R(r) \cdot T(t)$$
- $R'(r)$ adalah turunan pertama dari $u$ terhadap $r$
- $R”(r)$ adalah turunan kedua dari $u$ terhadap $r$
- $T'(t)$ adalah turunan pertama dari $u$ terhadap $t$
- $T”(t)$ adalah turunan kedua dari $u$ terhadap $t$
Maka persamaan tersebut menjadi
$$\frac{1}{40} R(r) \cdot T'(t) = R”(r) \cdot T(t)$$
$$\frac{\frac{1}{40} R(r) \cdot T'(t)}{R(r) \cdot T(t)} = \frac{R”(r) \cdot T(t)}{R(r) \cdot T(t)}$$
Untuk memudahkan, kita gunakan suatu nilai, misalkan $-\lambda^2$
$$\frac{1}{40} \frac{T'(t)}{T(t)} = \frac{R”(r)}{R(r)} = -\lambda^2$$
Pencarian Nilai $T(t)$
$$\frac{1}{40} \frac{T'(t)}{T(t)} = -\lambda^2$$
$$T'(t) = -40 \lambda^2T(t)$$
$$T'(t) + 40\lambda^2T(t) = 0$$
Solusi untuk persamaan tersebut adalah
$$\mathbf{T(t) = C e^{-40\lambda^2 t}}$$
Pencarian Nilai $R(r)$
$$\frac{R”(r)}{R(r)} = -\lambda^2$$
$$R”(r) = -\lambda^2 R(r)$$
$$R”(r) + \lambda^2 R(r) = 0$$
Untuk memudahkan penyelesaian, kita gunakan substitusi $e^{rx}$
$$\frac{d}{dx}(e^{rx}) = re^{rx}$$
$$\frac{d}{dx}(re^{rx}) = r^2e^{rx}$$
Substitusi ke persamaan
$$r^2e^{rx} + \lambda^2 e^{rx} = 0$$
Karena nilai eksponensial tidak mungkin nol, maka persamaan menjadi
$$r^2 + \lambda^2 = 0$$
$$r^2 = -\lambda^2$$
$$r = \sqrt{-\lambda^2}$$
$$r = 0 \pm \lambda i$$
Penyelesaiannya bisa menggunakan ketiga solusi
- $\text{Akar real} \ (r_1 \neq r_2): R(r) = C_1e^{r_1r} + C_2e^{r_2r}$
- $\text{Akar kembar} \ (r_1 = r_2): R(r) = C_1e^{rr} + C_2re^{rr}$
- $\text{Akar kompleks} \ (\alpha \pm \beta i): R(r) = e^{\alpha r}(C_1 \cos (\beta r) + C_2 \sin(\beta r))$
Karena hasilnya adalah imajiner, maka kita wajib menggunakan solusi khusus imajiner
$$R(r) = e^{0r} (C_1 \cos (\lambda r) + C_2 \sin(\lambda r))$$
Fungsi pada akhirnya akan menjadi
$$\mathbf{R(r) = (C_1 \cos (\lambda r) + C_2 \sin(\lambda r))}$$
Substitusi Batas
Variabel $t$ tidak bisa melakukan substitusi batas karena solusinya hanya berupa eksponensial
Mari kita substitusi pada variabel $r$
Substitusi pertama, $R(0) = 0$
$$R(r) = C_1 \cos (\lambda r) + C_2 \sin(\lambda r)$$
$$R(0) = C_1 \cos (\lambda 0) + C_2 \sin(\lambda 0)$$
$$0 = C_1 \cos (0) + C_2 \sin(0)$$
$$0 = C_1 + 0$$
$$C_1 = 0$$
Substitusi kedua, $R(2) = 0$
$$R(r) = C_2 \sin (\lambda r)$$
$$R(2) = C_2 \sin (\lambda 2)$$
$$0 = C_2 \sin (2 \lambda)$$
Agar persamaan ini memiliki solusi nyata, maka konstanta $C_2$ tidak boleh bernilai nol. Apalagi jika dibawa ke dalam dunia nyata, mustahil persamaan ini tidak memiliki solusi. Maka, satu satunya cara agar bernilai nol adalah dengan memanipulasi nilai $\sin (2 \lambda)$
Nilai sinus akan bernilai nol, apabila $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \text{dsb}$
Dengan manipulasi $2 \lambda$, solusinya menjadi
$$\sin (2 \lambda) = \sin(n\pi) \implies \text{ n = 1,2,3,…}$$
$$2 \lambda = n\pi \implies \text{ n = 1,2,3,…}$$
$$\mathbf{\lambda = \frac{n\pi}{2} \implies \text{ n = 1,2,3,…}}$$
Maka, solusi umum untuk $u(r,t)$ berbentuk deret Fourier Sinus:
$$u(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-40 \left(\frac{n\pi}{2}\right)^2 t}$$
$$u(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-40 \cdot \frac{n^2\pi^2}{4} \cdot t}$$
$$\mathbf{u(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-10 n^2 \pi^2 t}}$$
Mengembalikan ke Variabel Asli $T(r,t)$
Karena $u = r \cdot T \implies T = \frac{u}{r}$, bagi deret di atas dengan $r$:
$$\mathbf{T(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{r} \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-10 n^2 \pi^2 t}}$$
Mencari Koefisien $B_n$ dengan Syarat Awal
Pada saat $t = 0$, nilai $u(r,0) = 150r$:
$$150r = \sum_{n=1}^{\infty} B_n \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right)$$
Ini merupakan ekspansi deret Fourier Sinus untuk fungsi konstan $f(r) = 150r$ pada interval $(0,2)$. Rumus koefisien adalah:
$$B_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(r) \sin(\lambda_n r) \, dr$$
Dengan $L = 2$ dan $f(r) = 150r$:
$$B_n = \frac{2}{2} \int_{0}^{2} 150r \sin\left(\frac{n\pi}{2} r \right) \, dr$$
$$B_n = 150 \int_{0}^{2} r \sin\left(\frac{n\pi}{2} r \right) \ dr$$
Kita gunakan metode integral parsial
Kita buat atribut dasarnya dahulu
$$\int u dv = u v – \int v du$$
- $u = r \implies du = 1$
- $dv = \sin\left(\frac{n\pi}{2} r \right) \implies v = -\frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right)$
Kita selesaikan dengan substitusi
$$r \cdot \frac{2}{n\pi} -\cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right) \cdot 1$$
$$-\frac{2r}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right) + \int \frac{2}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r\right)$$
$$-\frac{2r}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right) + \frac{2^2}{n^2\pi^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2} r\right)$$
Kita selesaikan batas-batas integrasi tersebut
$$\left[-\frac{2r}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} r \right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2} r \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[-\frac{2(2)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} (2) \right) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2} (2) \right) + \frac{2(0)}{n\pi} \cos\left(\frac{n\pi}{2} (0) \right) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin\left(\frac{n\pi}{2} (0) \right) \right]$$
$$\left[-\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{4}{n^2\pi^2} \sin(n\pi) + \frac{0}{n\pi} \cos(0) – \frac{4}{n^2\pi^2} \sin(0) \right]$$
- Nilai dari $\sin(n\pi)$ adalah $0$
- Nilai dari $\sin(0)$ adalah $0$
- Nilai dari $\frac{0}{n\pi} \cos(0)$ adalah $0$
Maka persamaan bisa disederhanakan menjadi
$$-\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi) = -\frac{4 (-1)^{n}}{n\pi} = -1 \cdot \frac{4 (-1)^{n}}{n\pi} = \frac{4 (-1)^{n+1}}{n\pi}$$
Kalikan dengan konstanta di depan integral
$$B_n = 150 \cdot \frac{4 (-1)^{n+1}}{n\pi}$$
$$\mathbf{B_n = \frac{600 (-1)^{n+1}}{n\pi}}$$
Jawaban Akhir
Persamaan sebelumnya adalah
$$T(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_n}{r} \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-10 n^2 \pi^2 t}$$
Substitusikan koefisien $B_n$ kembali ke persamaan solusi total.
Solusi akhir untuk temperatur bola $T(r,t)$ adalah:
$$\mathbf{T(r,t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{r} \frac{600(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\left( \frac{n\pi}{2} r \right) e^{-10 n^2 \pi^2 t}}$$
