Susunlah deret Fourier dengan interval antara $-2 \leq x \leq 2$ dengan fungsi dasar $f(x) = -x – 1$ untuk $x \leq 0$ dan $f(x) = x – 1$ untuk $x \geq 0$
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -2$
$$f(-2) = -(-2) – 1$$
$$f(-2) = 2 – 1$$
$$f(-2) = 1$$
Misalkan $x = 2$
$$f(2) = 2 – 1$$
$$f(2) = 1$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-2) = 1$$
$$-f(2) = -1$$
Karena $(f(-1) \neq -f(1))$ maka termasuk fungsi ganjil
Kita verifikasi genap terlebih dahulu
Fungsi dikatakan genap jika memenuhi syarat $(f(-x) = f(x))$
$$f(-2) = 1$$
$$f(2) = 1$$
Karena $(f(-1) = f(1))$ maka termasuk fungsi genap
Karena fungsi termasuk genap, maka kita harus mencari $a_0$ dan $a_n$
Mencari Nilai $a_0$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_0 = \frac{2}{T} \int f(x)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = -x – 1 \ \text{dan} \ f(x) = x – 1 \ \text{dan} \ T = 2$, rumusnya menjadi
$$a_0 = \int_{-2}^{2} f(x) dx$$
$$a_0 = \left(\int_{-2}^{0} (-x – 1) dx + \int_{0}^{2} (x – 1) dx \right)$$
$$a_0 = \left(\left[-\frac{x^2}{2} – x \right]_{-2}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} – x \right]_{0}^{2} \right)$$
$$a_0 = \left(\left[-\frac{0^2}{2} – 0 + \frac{(-2)^2}{2} + (-2) \right] + \left[\frac{2^2}{2} – 2 – \frac{0^2}{2} + 0 \right] \right)$$
$$a_0 = (-0 – 0 + 2 – 2 + 2 – 2 – 0 + 0)$$
$$a_0 = (0)$$
$$\mathbf{a_0 = 0}$$
Mencari Nilai $a_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_n = \frac{2}{T} \int f(x) \cos \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = -x – 1 \ \text{dan} \ f(x) = x – 1 \ \text{dan} \ T = 2$, rumusnya menjadi
$$a_n = \left(\int_{-2}^{0}(-x – 1) + \int_{0}^{2}(x – 1) \right) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
$$a_n = \int_{-2}^{0}(-x – 1)\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx + \int_{0}^{2}(x – 1) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{0}^{2}(x – 1) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x – 1$ adalah $1$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(x – 1) \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot 1$$
$$\frac{2x – 2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$\frac{2x – 2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{2x – 2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[\frac{2(2) – 2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{2(0) – 2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) \right]$$
$$\left[\frac{2}{n \pi} \sin (n \pi) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (n \pi) + \frac{2}{n \pi} \sin (0) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (0) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n\pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
$$\left[\frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (n \pi) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (0) \right]$$
$$\mathbf{\frac{4}{n^2 \pi^2} ((-1)^n – 1)}$$
Maka, nilai dari $a_n$ adalah
$$\mathbf{\frac{4}{n^2 \pi^2} ((-1)^n – 1)}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Masukkan nilai
$$a_0 = 0 \ \text{dan} \ a_n = \frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } \frac{4}{n^2 \pi^2} ((-1)^n – 1) \cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{4}{(1)^2 \pi^2} ((-1)^n – 1) \cos \left(\frac{(1)\pi x}{2}\right) = -\frac{8}{\pi^2} \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{4}{(2)^2 \pi^2} ((-1)^n – 1) \cos \left(\frac{(2)\pi x}{2}\right) = 0$
- Untuk $n = 3$: $\frac{4}{(3)^2 \pi^2} ((-1)^n – 1) \cos \left(\frac{(3)\pi x}{2}\right) = -\frac{8}{9\pi^2} \cos \left(\frac{3\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{4}{(4)^2 \pi^2} ((-1)^n – 1) \cos \left(\frac{(4)\pi x}{2}\right) = 0$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = -\frac{8}{\pi^2} \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) – \frac{8}{9\pi^2} \cos \left(\frac{3\pi x}{2}\right) – \frac{8}{25\pi^2} \cos \left(\frac{5\pi x}{2}\right) – \frac{8}{49\pi^2} \cos \left(\frac{7\pi x}{2}\right)}$$
