Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang diberikan dan jelaskan bagaimana deret Fourier tampak konvergen.
$$f(x) = \begin{cases} x + 2, & -2 \le x < 0 \\ 2 – 2x, & 0 \le x < 2 \\ \end{cases} \ \ \ f(x + 4) = f(x)$$
Kita mulai dari verifikasi ganjil atau genap, penyusunan deret Fourier, kemudian menyusunnya agar tampak konvergen
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -1$
$$f(-1) = -1 + 2$$
$$f(-1) = 1$$
Misalkan $x = 1$
$$f(1) = 2 – 2(1)$$
$$f(1) = 2 – 2$$
$$f(1) = 0$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-1) = 1$$
$$-f(1) = 0$$
Karena $(f(-1) \neq -f(1))$ maka bukan fungsi ganjil
Kita verifikasi genap terlebih dahulu
Fungsi dikatakan genap jika memenuhi syarat $(f(-x) = f(x))$
$$f(-1) = 1$$
$$f(1) = 0$$
Karena $(f(-1) \neq f(1))$ maka bukan fungsi genap
Karena fungsi bukan ganjil ataupun genap, maka kita harus mencari $a_0$, $a_n$, dan $b_n$
Mencari Nilai $a_0$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_0 = \frac{2}{T} \int f(x)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + 2 \ \text{dan} \ f(x) = 2 – 2x \ \text{dan} \ T = 4$, rumusnya menjadi
$$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(x) dx$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0} (x + 2) dx + \int_{0}^{2} (2 – 2x) dx \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left(\left[\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{0} + [2x – x^2]_{0}^{2} \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left(\left[\frac{0^2}{2} + 2(0) – \frac{(-2)^2}{2} – 2(-2) \right] + [2(2) – (2)^2 + 2(0) – (0)^2] \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left(0 + 0 – 2 + 4 + 4 – 4 + 0 – 0\right)$$
$$a_0 = \frac{1}{2} (2)$$
$$\mathbf{a_0 = 1}$$
Mencari Nilai $a_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_n = \frac{2}{T} \int f(x) \cos \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + 2 \ \text{dan} \ f(x) = 2 – 2x$ dan $T = 4$, rumusnya menjadi
$$a_n = \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(x + 2) + \int_{0}^{2}(2 – 2x) \right) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
$$a_n = \frac{1}{2}\int_{-2}^{0}(x + 2)\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx + \int_{0}^{2}(2 – 2x) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Integral Bagian Kiri
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-2}^{0}(x + 2)\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x + 2$ adalah $1$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(x + 2) \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot 1$$
$$\frac{2x + 2^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$\frac{2x + 2^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{2x + 4}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{-2}^{0}$$
$$\left[\frac{2(0) + 4}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) – \frac{2(-2) + 4}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) \right]$$
$$\left[\frac{4}{n \pi} \sin (0) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (0) – \frac{0}{n \pi} \sin (-n \pi) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
$$\left[\frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (0) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right]$$
$$\mathbf{\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)}$$
Integral Bagian Kanan
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{0}^{2}(2 – 2x) \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $2 – 2x$ adalah $-2$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{L}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{L}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(2 – 2x) \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot -2$$
$$\frac{4 – 4x}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \int \frac{4}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$\frac{4 – 4x}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{4 – 4x}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[\frac{4 – 4(2)}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{4 – 4(0)}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) + \frac{4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) \right]$$
$$\left[\frac{0}{n \pi} \sin (n \pi) – \frac{4}{n \pi} \cos (n \pi) – \frac{4}{n \pi} \sin (0) + \frac{4}{n \pi} \cos (0) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n\pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
$$\left[\frac{4}{n \pi} \cos (0) – \frac{4}{n \pi} \cos (n \pi) \right]$$
$$\mathbf{\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)}$$
Mencari Nilai $a_n$
Karena integral bagian kiri dan integral bagian kanan menghasilkan nilai yang sama, maka nilai dari $a_n$ adalah
$$\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n) + \frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)$$
$$\frac{8}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$a_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)$$
Maka, nilai dari $a_n$ adalah
$$\mathbf{\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)}$$
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x + 2 \ \text{dan} \ f(x) = 2 – 2x$ dan $T = 4$, rumusnya menjadi
$$a_n = \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0}(x + 2) + \int_{0}^{2}(2 – 2x) \right) \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
$$a_n = \frac{1}{2}\int_{-2}^{0}(x + 2) \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx + \int_{0}^{2}(2 – 2x) \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Integral Bagian Kiri
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-2}^{0}(x + 2) \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x + 2$ adalah $2$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(x + 2) \cdot -\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int -\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot 1$$
$$-\frac{2x + 2^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \int \frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$-\frac{2x + 2^2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{2^2}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{2x + 4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{-2}^{0}$$
$$\left[-\frac{2(0) + 4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) + \frac{2(-2) + 4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) \right]$$
$$\left[-\frac{4}{n \pi} \cos (0) – \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin (0) + \frac{0}{n \pi} \cos (-n \pi) + \frac{4}{n^2 \pi^2} \sin (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n\pi)$ adalah 0
$$\left[-\frac{4}{n \pi} \cos (0) \right]$$
$$\mathbf{\frac{4}{n \pi} (-1)}$$
Integral Bagian Kanan
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{0}^{2}(2 – 2x) \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $2 – 2x$ adalah $-2$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$(2 – 2x) \cdot -\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int -\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot -2$$
$$-\frac{4 – 4x}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{4}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$-\frac{4 – 4x}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{4 – 4x}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{4 – 4x}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[-\frac{4 – 4(2)}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) + \frac{4 – 4(0)}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin \left(\frac{n \pi (0)}{2} \right) \right]$$
$$\left[\frac{4}{n \pi} \cos (n \pi) – \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin (n \pi) + \frac{4}{n \pi} \cos (0) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \sin (0) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n\pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah 0
$$\left[\frac{4}{n \pi} \cos (0) + \frac{4}{n \pi} \cos (n \pi) \right]$$
$$\mathbf{\frac{4}{n \pi} (1 – (-1)^n)}$$
Mencari Nilai $b_n$
Karena integral bagian kiri dan integral bagian kanan sama-sama menghasilkan nilai, maka nilai dari $b_n$ adalah
$$\frac{4}{n \pi} (-1) + \frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n)$$
$$\frac{4}{n \pi} (-1 + 1 – (-1)^n)$$
$$\frac{4}{n \pi} (- (-1)^n)$$
$$\frac{4}{n \pi} (-1 \cdot (-1)^n)$$
Catatan: sesuai sifat pangkat bilangan $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$$\frac{4}{n \pi} (-1)^{n + 1}$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{n \pi} (-1)^{n + 1}$$
Maka, nilai dari $b_n$ adalah
$$\mathbf{\frac{2}{n \pi} (-1)^{n + 1}}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Masukkan nilai
$$a_0 = 1 \ \text{dan} \ a_n = \frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n) \ \text{dan} \ b_n = \frac{2}{n \pi} (-1)^{n + 1}$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n) \cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2}{n \pi} (-1)^{n + 1}\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
$$f(x)=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{4}{n^2 \pi^2} (1 – (-1)^n) \cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)+\frac{2}{n \pi} (-1)^{n + 1}\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right) \right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{4}{(1)^2 \pi^2} (1 – (-1)^1) \cos \left(\frac{(1)\pi x}{2}\right)+\frac{2}{(1) \pi} (-1)^{1 + 1}\sin \left(\frac{(1)\pi x}{2}\right) = \frac{8}{\pi^2} \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)+\frac{2}{\pi} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{4}{(2)^2 \pi^2} (1 – (-1)^2) \cos \left(\frac{(2)\pi x}{2}\right)+\frac{2}{(2) \pi} (-1)^{2 + 1}\sin \left(\frac{(2)\pi x}{2}\right) = -\frac{2}{2 \pi} \sin \left(\frac{2 \pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 3$: $\frac{4}{(3)^2 \pi^2} (1 – (-1)^3) \cos \left(\frac{(3)\pi x}{2}\right)+\frac{2}{(3) \pi} (-1)^{3 + 1}\sin \left(\frac{(3)\pi x}{2}\right) = \frac{8}{9\pi^2} \cos \left(\frac{3 \pi x}{2}\right)+\frac{2}{3\pi} \sin \left(\frac{3\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{4}{(4)^2 \pi^2} (1 – (-1)^4) \cos \left(\frac{(4)\pi x}{2}\right)+\frac{2}{(4) \pi} (-1)^{4 + 1}\sin \left(\frac{(4)\pi x}{2}\right) = -\frac{2}{4 \pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{2}\right)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$\mathbf{f(x) = \frac{1}{2} + \frac{8}{\pi^2} \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)+\frac{2}{\pi} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right) – \frac{2}{2 \pi} \sin \left(\frac{2 \pi x}{2}\right) + \frac{8}{9\pi^2} \cos \left(\frac{3 \pi x}{2}\right)+\frac{2}{3\pi} \sin \left(\frac{3\pi x}{2}\right) – \frac{2}{4 \pi} \sin \left(\frac{4 \pi x}{2}\right)}$$
Konvergensi Deret
Berdasarkan kriteria konvergensi:
Pada titik kontinu
Deret Fourier akan konvergen tepat ke nilai fungsinya $f(x)$ pada semua titik di dalam selang terbuka $(-2, 2)$, karena tidak ada lompatan di sepanjang interval tersebut.
- Pada $x = 0$: Deret akan konvergen tepat ke nilai fungsinya, yaitu $\mathbf{2}$.
- Pada $x = 1$: Deret akan konvergen tepat ke nilai fungsi di selang kanan: $f(1) = 2 – 2(1) = \mathbf{0}$.
- Pada $x = -1$: Deret akan konvergen tepat ke nilai fungsi di selang kiri: $f(-1) = -1 + 2 = \mathbf{1}$.
Pada titik diskontinu ($x = \pm 2, \pm 4, \dots$)
Pada titik-titik ujung periode di mana grafik periodiknya patah/melompat, deret Fourier tidak akan memilih nilai $-2$ atau $0$, melainkan akan konvergen tepat ke titik tengah lompatan (rata-rata limit kiri dan kanan).
Contoh evaluasi konvergensi di titik diskontinu $x = 2$:
$$\frac{f(2^-) + f(2^+)}{2} = \frac{-2 + 0}{2} = \mathbf{-1}$$
(Jadi di setiap titik $x = \pm 2, \pm 4, \dots$, nilai deret Fouriernya akan mengunci di angka $-1$).
Fenomena Gibbs
Karena fungsi periodik ini memiliki lompatan diskontinu di setiap kelipatan genap ($x = \pm 2, \pm 4, \dots$), maka Fenomena Gibbs akan muncul.
Di dekat titik-titik tersebut, grafik deret Fourier akan mengalami overshoot (lonjakan kecil) sekitar 9% dari total tinggi lompatan sebelum gelombangnya melandai dan stabil. Karena tinggi lompatannya adalah dari $0$ ke $-2$ (jarak/tinggi sebesar $2$ satuan), maka besar lonjakan tajamnya adalah sekitar:
$$9\% \times 2 = \mathbf{0.18 \text{ satuan}}$$
