Untuk struktur kristal HCP, tunjukkan bahwa rasio c/a ideal adalah 1,633.
Kita bayangkan bentuk segi enam dengan masing masing atom di setiap sudutnya dan atom di pusatnya. Karena atom pada setiap saling berhubungan untuk membentuk rusuk segi enam, kita bisa menganggapnya sebagai $2r$.
Bangun ruang tersebut merupakan struktur bangun ruang dengan alas hexagonal (segi enam) dengan tinggi. Parameter yang kita dapatkan adalah $2r$ sebagai rusuk heksagon dan $c$ sebagai tinggi.
Alas hexagonal berarti setiap rusuk memiliki nilai yang sama dan jumlahnya mutlak 6. Ini artinya jarak dari atom sudut pertama ke pusat dan jarak dari atom sudut kedua ke pusat akan membentuk segitiga sama sisi. Karena sisinya sama, maka jarak dari atom sudut ke atom pusat adalah $2r$. Kita proyeksikan segitiga sama sisi menjadi segitiga sama siku. Anggaplah rusuk segi enam yang kita bagi dua sebagai alas dan jarak atom sudut sebagai diagonal. Maka, jarak dari tengah rusuk segi enam terhadap atom pusat bisa kita cari dengan teorema Pythagoras.
$$\text{Tinggi} = \sqrt{\text{Diagonal}^2 – \text{Alas}}$$
$$\text{Tinggi} = \sqrt{(2r)^2 – (r)^2}$$
$$\text{Tinggi} = \sqrt{4r^2 – r^2}$$
$$\text{Tinggi} = \sqrt{3r^2} = r\sqrt{3}$$
Kita bisa menganalisis setiap nilai sudut untuk memudahkan perhitungan. Disini anggaplah tinggi dari prisma segitiga sama sisi adalah setengah dari tinggi prisma segi enam.
Perlu kita ketahui bahwa sudut pusat adalah lingkaran sempurna, yaitu $360^\circ$. Itu artinya, dengan membagi 6 secara simetris, maka masing masing akan membentuk $60^\circ$. Dengan pembagian ini, kita bisa mengambil dua kerangka segitiga.
Untuk memahami geometri tinggi segitiga sama sisi, mari kita buat dua segitiga siku siku berukuran sama, tapi dengan posisi yang berbeda. Segitiga atas merupakan bagian pojok kiri atas, segitiga bawah merupakan bagian pojok kiri bawah.
Segitiga bawah, yang mana sisi paling panjang menjadi hipotenusa, dan sisi alas sesuai jari-jari, yaitu $r$. Mengingat $60^\circ$ adalah pusat lingkaran yang dibagi 6 dan $90^\circ$ sebagai sisi tegak siku-siku, maka sisanya adalah $30^\circ$. Sudut tersebut merupakan himpitan dari hipotenusa dan tinggi. Melalui konsep trigonometri, untuk mencari hipotenusa kita tinggal menggunakan rumus cosinus (hipotenusa – tinggi).
$$\text{Sisi Miring} = \frac{r}{\sin 60^\circ} = \frac{r}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$
Segitiga atas, yang mana sisi tinggi sama dengan jari-jari. Karena kesimetrisan antara hipotenusa sebelumnya dengan sisi miring yang kita lihat, maka untuk mencari sisi tinggi kita cukup gunakan teorema Pythagoras.
$$\text{Sisi Alas} = \sqrt{\text{Sisi Miring}^2 – \text{Sisi Tinggi}^2}$$
$$\text{Sisi Alas} = \sqrt{\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 – r^2}$$
$$\text{Sisi Alas} = \sqrt{\frac{4r^2}{3} – \frac{3r^2}{3}}$$
$$\text{Sisi Alas} = \sqrt{\frac{r^2}{3}}$$
$$\text{Sisi Alas} = \frac{r}{\sqrt{3}}$$
Nah sekarang kita tinggal membandingkan kedua sisi tersebut yang sebenarnya ada didalam satu sisi.
$$\frac{\text{Sisi Miring Segitiga Atas}}{\text{Sisi Tinggi Segitiga Bawah}} = \frac{\frac{2r}{\sqrt{3}}}{\frac{r}{\sqrt{3}}}$$
$$\frac{\text{Sisi Miring}}{\text{Sisi Tinggi}} = \frac{2}{1}$$
Karena 2 : 1 hanyalah rasio, maka kita bisa anggap nilai total hipotenusa tersebut sebagai 3 (meskipun panjang aktualnya adalah $\sqrt{3}$)
Dari analisis tersebut, kita akhirnya tahu aturan emas dalam segitiga, yaitu 2 : 1 dan penggunaan $\frac{2}{3}$ atau $\frac{1}{3}$
Untuk kebutuhan analisis sisi miring piramida, kita hitung panjang alasnya. Panjang alasnya adalah dua per tiga dari hipotenusa tersebut. Ingat, kita ambil dari atom sudut, sehingga kita menggunakan nilai $\frac{2}{3}$
$$\text{Alas Piramida} = \frac{2}{3} \cdot r\sqrt{3}$$
$$\text{Alas Piramida} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$$
Sesuai sifat segitiga siku-siku, jarak dari atom sudut menuju atom pusat sama dengan hipotenusa piramida. Artinya sisi miring piramida bernilai 2r, sama seperti jarak sudut atom dengan pusat atom.
Kita ingat tujuan awal, yaitu ingin menghitung rasio dari alas dan tinggi. Untuk menghitung tinggi, kita bisa menggunakan variabel a untuk mempermudah rasio. Kita gunakan konsep pythagoras saja.
$$\text{Sisi Diagonal}^2 = {\text{Sisi Alas}^2 + \text{Sisi Tinggi}^2}$$
$$(2r)^2 = \left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2$$
$$4r^2 = \frac{4r^2}{3} + \frac{c^2}{4}$$
$$\frac{12r^2}{3} – \frac{4r^2}{3} = \frac{4r^2}{3} – \frac{4r^2}{3} + \frac{c^2}{4}$$
$$\frac{8r^2}{3} = \frac{c^2}{4}$$
$$\frac{32r^2}{3} = c^2$$
$$c = \frac{4r\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$
Kita ingat ulang bahwa rusuk segi enam adalah $2r$
Maka dengan data yang sudah kita peroleh, nilai dari rasionya adalah
$$\frac{c}{a} = \frac{\frac{4r\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{2r}$$
$$\frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
$$\frac{c}{a} = \sqrt{\frac{8}{3}}$$
$$\frac{c}{a} = \sqrt{2,666}$$
$$\frac{c}{a} = 1,632$$
Ini membuktikan rasio ideal yang diminta pada permasalahan tersebut.
