Suatu dinding potensial tak hingga memiliki struktur seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini
Daerah dinding potensial tersebut dibatasi oleh area $a \leq x \leq b$ dimana $a = 0$ dan $b = \frac{C}{2}$. Potensial pada daerah $x \leq a$ dan $x \geq b$ bernilai tak hingga, dan potensial pada daerah $a \leq x \leq b$ bernilai nol. Jika suatu partikel dengan massa $m_0$ berada pada daerah dalam dinding potensial, maka persamaan Schroedinger untuk kasus di atas adalah:
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V \psi = E \psi$$
(a) Penyelesaian umum persamaan Schroedinger pada daerah $a < x < b$ adalah
(b) Persamaan tetapan A dan B adalah
(c) Persamaan energi partikel pada daerah $a < x < b$ adalah
(d) Persamaan momentum partikel pada daerah $a < x < b$ adalah
(e) Untuk tingkat keadaan kedua $(n = 2)$ maka nilai probabilitas menemukan partikel pada daerah $0 < x < \frac{C}{4}$ adalah
Kita kerjakan setiap permasalahan satu per satu
(a) Penyelesaian Umum
Di dalam kotak $(0 < x < \frac{C}{2})$, potensial $V = 0$. Persamaan menjadi $\frac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi = 0$ dengan $k = \sqrt{\frac{2m_0E}{\hbar^2}}$. Penyelesaian umumnya adalah:
$$\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$$
(b) Persamaan Tetapan $A$ dan $B$
Kita gunakan syarat batas $\psi (0) = 0$ dan $\psi (\frac{C}{2}) = 0$
Syarat Pertama:
$$\psi (0) = A \sin (k(0)) + B \cos (k(0))$$
$$0 = A \sin (0) + B \cos (0)$$
$$0 = 0 + B$$
$$\mathbf{B = 0}$$
Syarat Kedua:
$$\psi \left(\frac{C}{2} \right) = A \sin \left(k \left(\frac{C}{2} \right) \right) + 0$$
$$0 = A \sin \left(\frac{kC}{2} \right)$$
Agar persamaan tersebut memiliki solusi, maka nilai $A$ tidak boleh nol. Satu-satunya cara adalah dengan membuat nilai $\sin (k\frac{C}{2})$ menjadi nol
Fungsi sinus bernilai nol apabila
$$0 = \sin (n \pi) \ \text{dengan} \ n = 1, 2, 3, …$$
Maka kita bisa manipulasi
$$\sin \left(\frac{kC}{2} \right) = \sin (n \pi)$$
$$\frac{kC}{2} = n \pi$$
$$kC = 2 n \pi$$
$$\mathbf{k = \frac{2 n \pi}{C}}$$
Sekarang, kita bisa menyusun persamaan yang sudah ada
$$\psi (x) = A \sin \left(\frac{2 n \pi}{C} x \right)$$
Kemudian kita menormalisasi persamaan
$$\int |\psi(x)|^2 dx = 1$$
$$\int_{0}^{C/2} |A \sin \left(\frac{2 n \pi}{C} x \right)|^2 dx = 1$$
$$\int_{0}^{C/2} A^2 \sin^2 \left(\frac{2 n \pi}{C} x \right) dx = 1$$
$$ A^2 Â \int_{0}^{C/2} \sin^2 \left(\frac{2 n \pi}{C} x \right) dx = 1$$
Sudah pernah dibahas di artikel sebelumnya, bahwa
$$\int \sin^2(k_x x) = \left[\frac{x}{2} – \frac{\sin(2 k x)}{4 k} + C \right]$$
Maka dengan substitusi nilai k sebelumnya, integral menjadi
$$\left [\frac{x}{2} – \frac{C \sin(\frac{4 n \pi}{C} x)}{8 n \pi} \right]_{0}^{C/2}$$
$$\left [\frac{C/2}{2} – \frac{C \sin(\frac{4 n \pi}{C} \frac{C}{2})}{8 n \pi} – \frac{0}{2} + \frac{C \sin(\frac{4 n \pi}{C} 0)}{8 n \pi} \right]$$
$$\left [\frac{C}{4} – \frac{C \sin(2 n \pi)}{8 n \pi} – \frac{0}{2} + \frac{C \sin(0)}{8 n \pi} \right]$$
- Nilai dari $\sin (2 n \pi)$ adalah $0$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah $0$
Persamaan tersebut menjadi
$$A^2 \cdot \frac{C}{4} = 1$$
$$A^2 = \frac{4}{C}$$
$$A = \sqrt{\frac{4}{C}}$$
$$A = \frac{2}{\sqrt{C}}$$
(c) Mencari Energi $(E_n)$
Energi dapat dicari dengan rumus:
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m_0 L^2}$$
$$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2m_0 (C/2)^2}$$
$$\mathbf{E_n = \frac{2n^2 \pi^2 \hbar^2}{m_0 C^2}}$$
(d) Mencari Momentum $(p_n)$
Momentum dapat dicari dengan rumus:
$$p_n = \hbar k$$
$$\mathbf{p_n = \frac{2 n \pi \hbar}{C}}$$
(e) Probabilitas Menemukan Partikel pada $0 < x < \frac{C}{4}$
Kita sudah mendapatkan nilai $A = \sqrt{\frac{4}{C}}$ dan $k = \frac{2 n \pi}{C}$ dan $n = 2$
Persamaan diubah menjadi
$$\psi (x) = A \sin (kx)$$
$$\psi (x) = \sqrt{\frac{4}{C}} \sin \left(\frac{2 n \pi x}{C} \right)$$
$$\psi (x) = \sqrt{\frac{4}{C}} \sin \left(\frac{4 \pi x}{C} \right)$$
Untuk mencari probabilitas, kita gunakan rumus
$$\int |\psi (x)|^2 dx$$
Hasilnya menjadi
$$\int_{0}^{C/4} \left(\sqrt{\frac{4}{C}} \sin \left(\frac{4 \pi x}{C} \right) \right)^2 dx$$
$$\int_{0}^{C/4} \frac{4}{C} \sin^2 \left(\frac{4 \pi x}{C} \right) dx$$
$$\frac{4}{C} Â \int_{0}^{C/4} \sin^2 \left(\frac{4 \pi x}{C} \right) dx$$
Sudah pernah dibahas di artikel sebelumnya, bahwa
$$\int \sin^2(k_x x) = \left[\frac{x}{2} – \frac{\sin(2 k x)}{4 k} + C \right]$$
Maka dengan substitusi nilai k sebelumnya, integral menjadi
$$\left[\frac{x}{2} – \frac{C \sin \left(\frac{8 n \pi}{C} x \right)}{16 n \pi} \right]_{0}^{C/4}$$
$$\left[\frac{C/4}{2} – \frac{C \sin \left(\frac{8 n \pi}{C} \frac{C}{4} \right)}{16 n \pi} – \frac{0}{2} + \frac{C \sin \left(\frac{8 n \pi}{C} 0 \right)}{16 n \pi} \right]$$
$$\left[\frac{C}{8} – \frac{C \sin (2 n \pi)}{16 n \pi} – \frac{0}{2} + \frac{C \sin (0)}{16 n \pi} \right]$$
- Nilai dari $\sin (2 n \pi)$ adalah $0$
- Nilai dari $\sin (0)$ adalah $0$
Persamaan tersebut menjadi
$$P = \frac{4}{C} \cdot \frac{C}{8}$$
$$P = \frac{1}{2}$$
$$\mathbf{P = 0,5}$$
