Misalkan loop kawat pada Soal 9.4 berada dalam posisi diam (stasioner) pada posisi $t = 0$ (terletak di bidang $z=0$ dengan batas $x \in [-a/2, a/2]$ dan $y \in [-b/2, b/2]$). Tentukan GGL ($emf$) induksi yang dihasilkan oleh densitas fluks magnetik yang diberikan oleh $\mathbf{B}(y, t) = B_0 \cos(\omega t – \beta y) \mathbf{a}_z$ di mana $\omega$ dan $\beta$ adalah konstanta.
Karena loop kawat diam, maka GGL induksi yang muncul murni merupakan Transformer EMF. Hal ini terjadi karena perubahan medan magnet terhadap waktu yang menembus luas penampang loop.
Turunan Parsial B terhadap t
$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} [B_0 \cos(\omega t – \beta y)] \mathbf{a}_z$$
$$\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = -B_0 \omega \sin(\omega t – \beta y) \mathbf{a}_z$$
Integral Faraday
Hukum Faraday untuk loop diam adalah
$$V_{emf} = -\int_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S}$$
- Elemen Luas ($d\mathbf{S}$): Loop berada di bidang $xy$, maka $d\mathbf{S} = dx \, dy \, \mathbf{a}_z$.
- Batas Integrasi: $x$ dari $-a/2$ sampai $a/2$, dan $y$ dari $-b/2$ sampai $b/2$.
- Variabel Medan: Karena $\mathbf{B}$ hanya fungsi dari $y$ dan $t$, maka integrasi terhadap $x$ akan menjadi perkalian sederhana dengan lebar loop ($a$).
Integrasi Faraday
Dengan parameter yang ada, integralnya menjadi
$$V_{emf} = -\int_{-b/2}^{b/2} \int_{-a/2}^{a/2} [-B_0 \omega \sin(\omega t – \beta y)] \, dx \, dy$$
$$V_{emf} = B_0 \omega \cdot \int_{-a/2}^{a/2} \, dx \, \cdot -\int_{-b/2}^{b/2} \sin(\omega t – \beta y) \, dy$$
$$V_{emf} = B_0 \omega \cdot [x]_{-a/2}^{a/2} \cdot \left[\frac{1}{\beta} \cos(\omega t – \beta y)\right]_{-b/2}^{b/2}$$
$$V_{emf} = B_0 \omega \cdot \left[\frac{a}{2} + \frac{a}{2}\right] \cdot \left[\frac{1}{\beta} \cos\left(\omega t – \beta \frac{b}{2}\right) – \frac{1}{\beta} \cos\left(\omega t + \beta \frac{b}{2}\right)\right]$$
$$V_{emf} = B_0 \omega a \cdot \frac{1}{\beta} \cdot \left[\cos\left(\omega t – \frac{\beta b}{2}\right) – \cos\left(\omega t + \frac{\beta b}{2}\right)\right]$$
$$V_{emf} = \frac{B_0 \omega a}{\beta} \left[ 2 \sin(\omega t) \sin\left(\frac{\beta b}{2}\right) \right]$$
$$\mathbf{V_{emf}(t) = \frac{2 B_0 \omega a}{\beta} \sin(\omega t) \sin\left(\frac{\beta b}{2}\right) \text{ V}}$$
Catatan: kita memanfaatkan salah satu sifat trigonometri, yaitu $\cos(a + b) – \cos(a – b) = 2 \sin(a) \sin(b)$
