Diketahui intensitas medan magnet di ruang hampa adalah $\mathbf{H} = 300\cos(3 \times 10^8t – y) \mathbf{a}_z \text{ A/m}$. Tentukan GGL ($emf$) yang dihasilkan pada arah $\mathbf{a}_\phi$ pada lintasan tertutup yang memiliki titik-titik sudut di (a) $(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0),$ dan $(0, 1, 0)$ (b) $(0, 0, 0), (2\pi, 0, 0), (2\pi, 2\pi, 0),$ dan $(0, 2\pi, 0)$
Menentukan Medan Magnet
Untuk menyelesaikan soal ini, kita menggunakan hubungan antara medan magnet ($\mathbf{H}$) dan induksi magnetik ($\mathbf{B}$), lalu menerapkan Hukum Faraday.
Hubungan B dan H di ruang hampa
$$\mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H}$$
Dengan menggunakan nilai H yang ada
$$\mathbf{B} = \mu_0 (300 \cos(3 \times 10^8t – y)) \mathbf{a}_z$$
(a) Untuk Luas $x \in [0, 1]$ dan $y \in [0, 1]$
Kita integrasikan fluks sesuai batas yang ditentukan
Catatan: karena berada di bidang $z = 0$, maka elemen luasnya adalah $dydx$.
$$\Phi = \int_{S} B \cdot dS$$
$$\Phi = \int_0^1 \int_0^1 \mu_0 \cdot 300 \cos(\omega t – y) \, dy \, dx$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \int_0^1 \cos(\omega t – y) \, dy \, \int_0^1 dx$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – y) \right]_{0}^{1} \cdot [x]_{0}^{1}$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – 1) + \frac{1}{\omega}\sin(\omega t – 0) \right] \cdot [1 – 0]$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – 1) + \frac{1}{\omega}\sin(\omega t) \right]$$
Catatan: integral dari $\cos(\omega t – y)$ adalah $-\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – y)$
Kita turunkan fluks terhadap waktu untuk mencari nilai dari gaya gerak listrik
$$V_{emf} = -\frac{d\Phi}{dt}$$
$$V_{emf} = -\frac{d}{dt} \left(\mu_0 \cdot 300 \left[\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – 1) + \frac{1}{\omega}\sin(\omega t) \right] \right)$$
$$V_{emf} = \frac{300 \mu_0}{\omega} \cdot -\frac{d}{dt} (-\sin(\omega t – 1) + \sin(\omega t))$$
$$V_{emf} = \frac{300 \mu_0}{\omega} (\omega \cos(\omega t – 1) – \omega \cos(\omega t))$$
$$\mathbf{V_{emf} = 300 \mu_0 (\cos(\omega t – 1) – \cos(\omega t))}$$
Catatan: turunan dari $-\sin(\omega t – y)$ adalah $-\omega \cos(\omega t – y)$
(b) Untuk Luas $x \in [0, 2\pi]$ dan $y \in [0, 2\pi]$
Kita integrasikan fluks sesuai batas yang ditentukan
Catatan: karena berada di bidang $z = 0$, maka elemen luasnya adalah $dydx$.
$$\Phi = \int_{S} B \cdot dS$$
$$\Phi = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \mu_0 \cdot 300 \cos(\omega t – y) \, dy \, dx$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \int_{0}^{2\pi} \cos(\omega t – y) \, dy \, \int_{0}^{2\pi} dx$$
$$\Phi = \mu_0 \cdot 300 \left[-\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – y) \right]_{0}^{2\pi} \cdot [x]_{0}^{2\pi}$$
$$\Phi = \frac{300 \mu_0}{\omega} \left[-\sin(\omega t – 2\pi) + \sin(\omega t – 0) \right] \cdot [2\pi – 0]$$
$$\Phi = \frac{600 \pi \mu_0}{\omega} [-\sin(\omega t – 2\pi) + \sin(\omega t)]$$
$$\Phi = \frac{600 \pi \mu_0}{\omega} [-\sin(\omega t) + \sin(\omega t)]$$
$$\Phi = \frac{600 \pi \mu_0}{\omega} \cdot 0$$
$$\Phi = 0$$
- Catatan: hasil dari $-\sin(\omega t – 2\pi)$ adalah $-\sin(\omega t)$
- Catatan: integral dari $\cos(\omega t – y)$ adalah $-\frac{1}{\omega}\sin(\omega t – y)$
Karena fluks magnetiknya bernilai nol, maka gaya gerak listriknya juga pasti bernilai nol
$$\mathbf{V_{emf} = 0}$$
