(a) Tunjukkan bahwa rasio amplitudo antara rapat arus konduksi ($J_c$) dan rapat arus pergeseran ($J_d$) adalah $\sigma / \omega\epsilon$ untuk medan listrik yang diterapkan sebesar $E = E_m \cos \omega t$. Asumsikan $\mu = \mu_0$. (b) Berapakah rasio amplitudo tersebut jika medan listrik yang diterapkan adalah $E = E_m e^{-t/\tau}$, di mana $\tau$ adalah bilangan riil?
Medan Sinusoidal $(E = E_m \cos (\omega t))$
Dalam elektromagnetika, total rapat arus terdiri dari dua komponen
Rapat Arus Konduksi ($J_c$)
Arus yang mengalir melalui konduktor karena adanya muatan bebas.
$$J_c = \sigma E$$
$$J_c = \sigma (E_m \cos (\omega t))$$
Amplitudo $J_c$ adalah
$$\mathbf{J_{c,max} = \sigma E_m}$$
Rapat Arus Pergeseran ($J_d$)
“Arus” yang muncul karena perubahan medan listrik terhadap waktu (fenomena pada kapasitor atau ruang hampa).
$$J_d = \frac{\partial D}{\partial t}$$
$$J_d = \epsilon \frac{\partial E}{\partial t}$$
$$J_d = \epsilon \frac{\partial}{\partial t}(E_m \cos \omega t)$$
$$J_d = \epsilon E_m \frac{\partial}{\partial t}(\cos \omega t)$$
$$J_d = \epsilon E_m (-\omega \sin \omega t)$$
Amplitudo $J_d$ adalah
$$\mathbf{J_{d,max} = \omega \epsilon E_m}$$
Rasio Amplitudo
Kita bandingkan hasil dari amplitudo $J_{c, max}$ dengan amplitudo $J_{d, max}$
$$\text{Rasio} = \frac{J_{c, max}}{J_{d, max}}$$
$$\text{Rasio} = \frac{\sigma E_m}{\omega \epsilon E_m}$$
$$\mathbf{\text{Rasio} = \frac{\sigma}{\omega \epsilon}}$$
Medan Peluruhan Eksponensial $(E = E_m e^{-t/\tau})$
Dalam elektromagnetika, total rapat arus terdiri dari dua komponen
Rapat Arus Konduksi ($J_c$)
Arus yang mengalir melalui konduktor karena adanya muatan bebas.
$$J_c = \sigma E$$
$$J_c = \sigma E_m e^{-t/\tau}$$
Amplitudo $J_c$ adalah
$$\mathbf{J_{c,max} = \sigma E_m}$$
Rapat Arus Pergeseran ($J_d$)
“Arus” yang muncul karena perubahan medan listrik terhadap waktu (fenomena pada kapasitor atau ruang hampa).
$$J_d = \frac{\partial D}{\partial t}$$
$$J_d = \epsilon \frac{\partial E}{\partial t}$$
$$J_d = \epsilon \frac{\partial}{\partial t}(E_m e^{-t/\tau})$$
$$J_d = \epsilon E_m \frac{\partial}{\partial t}(e^{-t/\tau})$$
$$J_d = \epsilon E_m \left(-\frac{t}{\tau} e^{-t/\tau}\right)$$
Amplitudo $J_d$ adalah
$$\mathbf{J_{d,max} = \frac{\epsilon E_m}{\tau}}$$
Rasio Amplitudo
Kita bandingkan hasil dari amplitudo $J_{c, max}$ dengan amplitudo $J_{d, max}$
$$\text{Rasio} = \frac{J_{c, max}}{J_{d, max}}$$
$$\text{Rasio} = \frac{\sigma E_m}{\frac{\epsilon E_m}{\tau}}$$
$$\text{Rasio} = \sigma E_m \cdot \frac{\tau}{\epsilon E_m}$$
$$\mathbf{\text{Rasio} = \frac{\sigma \tau}{\epsilon}}$$
Rasio ini sangat penting untuk menentukan apakah suatu material berperilaku sebagai konduktor atau dielektrik (isolator) pada frekuensi tertentu.
- Jika $\frac{\sigma}{\omega \epsilon} \gg 1$, material dianggap konduktor yang baik.
- Jika $\frac{\sigma}{\omega \epsilon} \ll 1$, material dianggap dielektrik yang baik (lossless).
