Sebuah saluran transmisi beroperasi pada frekuensi sudut $\omega = 6 \times 10^8 \text{ rad/s}$. Saluran tersebut memiliki parameter-parameter primer sebagai berikut $L$ = $0,350 \ \mu\text{H/m}$, $C$ = $40 \text{ pF/m}$, $G$ = $0$, $R$ = $15,0 \ \Omega/\text{m}$ Tentukan konstanta redaman ($\alpha$), konstanta fasa ($\beta$), panjang gelombang ($\lambda$), impedansi karakteristik ($Z_0$)
Dalam analisis saluran transmisi, kita menggunakan Konstanta Propagasi ($\gamma$) dan Impedansi Karakteristik ($Z_0$) untuk memahami bagaimana sinyal merambat.
Konstanta Propagasi ($\gamma$)
Sinyal yang merambat akan mengalami perubahan amplitudo dan fasa, yang dirumuskan sebagai:
$$\gamma = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$$
$$\gamma = \sqrt{(15,0 + j \cdot 6 \times 10^8 \cdot 0,35 \times 10^{-6})(0 + j \cdot 6 \times 10^8 \cdot 40 \times 10^{-12})}$$
$$\gamma = \sqrt{(15,0 + j2,1 \times 10^2)(0 + j2,4 \times 10^{-2})}$$
$$\gamma = \sqrt{(15,0 + j210)(j0,024)}$$
$$\gamma = \sqrt{j0,36 – 5,04}$$
Mengubah ke bentuk polar untuk memudahkan penarikan akar:
$$\sqrt{(-5,04)^2 + (0,36)^2} = \sqrt{25,401 + 0,129} = \sqrt{25,53} = 5,052$$
$$\tan^{-1}\left(-\frac{0,36}{5,04}\right) = \tan^{-1}(-0,071) = 175,947^\circ$$
$$5,052 \angle 175,943^\circ$$
Kita selesaikan penarikan akar
$$\gamma = \sqrt{5,052 \angle 175,943^\circ}$$
$$\gamma = \sqrt{5,052} \angle \frac{175,943^\circ}{2}$$
$$\mathbf{\gamma = 2,247 \angle 87,971^\circ}$$
Kita selesaikan dalam bentuk lain
$$\gamma = \alpha + j\beta$$
$$\gamma = 2,247\cos(87,971^\circ) + j2,247\sin(87,971^\circ)$$
$$\gamma = 2,247 \cdot 0,035 + j2,247 \cdot 0,999$$
$$\mathbf{\gamma = 0,078 + j2,244}$$
Panjang Gelombang
Kita hitung panjang gelombang
$$\lambda = \frac{2\pi}{\beta}$$
$$\lambda = \frac{2 \cdot 3,14}{2,246}$$
$$\lambda = \frac{6,28}{2,246}$$
$$\mathbf{\lambda \approx 2,797 \ \text{m}}$$
Impedansi Karakteristik ($Z_0$)
Ini adalah rasio tegangan terhadap arus pada gelombang yang merambat di saluran yang sangat panjang.
$$Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}$$
$$Z_0 = \sqrt{\frac{15,0 + j \cdot 6 \times 10^8 \cdot 0,35 \times 10^{-6}}{j \cdot 6 \times 10^8 \cdot 40 \times 10^{-12}}}$$
$$Z_0 = \sqrt{\frac{15,0 + j2,1 \times 10^2}{0 + j2,4 \times 10^{-2}}}$$
$$Z_0 = \sqrt{\frac{15,0 + j210}{j0,024}}$$
Cari nilai polar dari pembilang
$$\sqrt{(210)^2 + (15)^2} = \sqrt{44100 + 225} = \sqrt{44325} = 210,535$$
$$\tan^{-1}\left(\frac{210}{15}\right) = \tan^{-1}(14) = 85,914^\circ$$
$$210,535 \angle 85,914^\circ$$
Cari nilai polar dari penyebut
$$\sqrt{(0)^2 + (0,024)^2} = \sqrt{0,024^2} = 0,024$$
$$\tan^{-1}\left(\frac{0,024}{0}\right) \approx \tan^{-1}(0) \approx 90^\circ$$
$$0,024 \angle 90^\circ$$
Kita selesaikan pembagian
$$Z_0 = \sqrt{\frac{210,535 \angle 85,914^\circ}{0,024 \angle 90^\circ}}$$
$$Z_0 = \sqrt{\frac{210,535}{0,024} \angle (85,914^\circ – 90^\circ)}$$
$$Z_0 = \sqrt{8772,291 \angle -4,086^\circ}$$
$$\mathbf{_0 = 93,66 \angle -2,043^\circ}$$
Kita selesaikan dalam bentuk lain
$$Z_0 = 93,66\cos(-2,043^\circ) + j93,66\sin(-2,043^\circ)$$
$$Z_0 = 93,66 \cdot 0,999 – j93,66 \cdot 0,035$$
$$\mathbf{Z_0 = 93,566 – j3,278}$$
