Tunjukkan bahwa usaha diferensial ($dW$) untuk menggerakkan sebuah elemen arus $I d\mathbf{L}$ sejauh jarak $d\mathbf{l}$ dalam medan magnet $\mathbf{B}$ adalah negatif dari usaha yang dilakukan untuk menggerakkan elemen arus $I d\mathbf{l}$ sejauh jarak $d\mathbf{L}$ dalam medan magnet yang sama.
Pencarian Usaha Pertama
Usaha ($dW_1$) adalah gaya magnet pada elemen $d\mathbf{L}$ dikalikan dengan perpindahan $d\mathbf{l}$:
$$dW_1 = (I d\mathbf{L} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{l}$$
Kita bisa menggunakan sifat perkalian skalar triple
$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$$
Maka dengan cara tersebut
$$\mathbf{dW_1 = I [dl \cdot (dL \times B)]}$$
Pencarian Usaha Kedua
Usaha ($dW_2$) adalah gaya magnet pada elemen $d\mathbf{l}$ dikalikan dengan perpindahan $d\mathbf{L}$
$$dW_2 = (I d\mathbf{l} \times \mathbf{B}) \cdot d\mathbf{L}$$
Kita bisa menggunakan sifat perkalian skalar triple
$$\mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})$$
Maka dengan cara tersebut
$$\mathbf{dW_2 = I [dl \cdot (B \times dL)]}$$
Perbandingan Usaha
Kita tahu bahwa perkalian silang bersifat antikomutatif:
$$\mathbf{B} \times d\mathbf{L} = -(d\mathbf{L} \times \mathbf{B})$$
Substitusikan ini kembali ke persamaan $dW_2$:$$dW_2 = I [d\mathbf{l} \cdot (-(d\mathbf{L} \times \mathbf{B}))]$$
$$dW_2 = -I [d\mathbf{l} \cdot (d\mathbf{L} \times \mathbf{B})]$$
Kita lihat persamaan $dW_1$:
$$dW_1 = I [d\mathbf{l} \cdot (d\mathbf{L} \times \mathbf{B})]$$
Maka kita bisa menyimpulkan
$$\mathbf{dW_2 = -dW_1}$$
