Sebuah filamen arus berada pada sumbu $z$ dengan arus sebesar $8 \text{ mA}$ yang mengalir ke arah $a_z$.
(a) Tentukan nilai $H$ dalam komponen kartesian (rektangular) di titik $P(2, 3, 4)$.
(b) Ulangi perhitungan tersebut jika filamen arus digeser lokasinya ke garis $x = -1$, $y = 2$.
(c) Tentukan nilai total $H$ di titik $P$ jika kedua filamen arus tersebut ada secara bersamaan.
(a) Filamen pada sumbu $z$ ($x=0, y=0$)
Kita cek arus terlebih dahulu:
$$8\text{ mA} = 8 \times 10^{-3}\text{ A ke arah }\mathbf{a}_z$$.
Selanjutnya, kita bisa mencari vektor jaraknya:
- $x=0$
- $y=0$
- $P: (2, 3, 4)$
Kita hitung jarak antara kedua vektor
Karena filamen dihitung di sumbu $z$, kita hanya perlu melihat proyeksi di bidang $xy$
$$\mathbf{R} = (2-0)\mathbf{a}_x + (3-0)\mathbf{a}_y$$
$$\mathbf{R} = 2\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_y$$
Kita hitung magnitudo dari kedua vektor
$$\mathbf{{R}^2} = {2}^2 + {3}^2$$
$$\mathbf{{R}^2} = 4 + 9$$
$$\mathbf{{R}^2} = 13$$
Kita hitung medan magnet di sekitar kawat lurus tak berhingga
Persamaan dasar yang kita gunakan untuk mencari medan magnet di sekitar kawat lurus tak berhingga (filamen arus) adalah:
$$\mathbf{H} = \frac{I}{2\pi\rho} \mathbf{a}_{\phi}$$
Atau dalam bentuk vektor yang lebih umum untuk titik pengamatan sembarang:
$$\mathbf{H} = \frac{I}{2\pi} \frac{\mathbf{a}_I \times \mathbf{a}_R}{R}$$
Kita juga bisa menggunakan penyerdehanaan rumus:
$$\mathbf{H} = \frac{I}{2\pi R^2} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{R})$$
Kita masukkan angka-angkanya:
$$\mathbf{H}_a = \frac{8 \times 10^{-3}}{2 \cdot 3,14 \cdot (13)} (\mathbf{a}_z \times [2\mathbf{a}_x + 3\mathbf{a}_y])$$
Ingat bahwa dalam koordinat rektangular,
- $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_x = \mathbf{a}_y$
- $\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_y = -\mathbf{a}_x$
$$\mathbf{H}_a = \frac{8 \times 10^{-3}}{8,168 \times 10^{1}} (2\mathbf{a}_y – 3\mathbf{a}_x)$$
$$\mathbf{H}_a = 9.795 \times 10^{-5} (-3\mathbf{a}_x + 2\mathbf{a}_y)$$
$$\mathbf{H}_a = -29,385\mathbf{a}_x + 19,59 \times 10^{-5} (-3\mathbf{a}_x + 2\mathbf{a}_y)$$
Karena $10^{-6} = \mu$ kita bisa mengubahnya menjadi
$$\mathbf{H}_a = -293,85 \mathbf{a}_x + 195,9 \mathbf{a}_y \ \mu \text{A/m}$$
(b) Filamen pada $x = -1, y = 2$
Kita cek arus terlebih dahulu:
$$8\text{ mA} = 8 \times 10^{-3}\text{ A ke arah }\mathbf{a}_z$$.
Selanjutnya, kita bisa mencari vektor jaraknya:
- $x=-1$
- $y=2$
- $z = z$
- $P: (2, 3, 4)$
Kita hitung jarak antara kedua vektor
Karena filamen dihitung di sumbu $z$, kita hanya perlu melihat proyeksi di bidang $xy$
$$\mathbf{R} = (2-(-1))\mathbf{a}_x + (3-2)\mathbf{a}_y$$
$$\mathbf{R} = 3\mathbf{a}_x + 1\mathbf{a}_y$$
Kita hitung magnitudo dari kedua vektor
$$\mathbf{{R}^2} = {3}^2 + {1}^2$$
$$\mathbf{{R}^2} = 9 + 1$$
$$\mathbf{{R}^2} = 10$$
Kita hitung medan magnet di sekitar kawat lurus tak berhingga
$$\mathbf{H}_b = \frac{8 \times 10^{-3}}{2 \cdot 3,14 \cdot (10)} (\mathbf{a}_z \times [3\mathbf{a}_x + 1\mathbf{a}_y])$$
$$\mathbf{H}_b = \frac{8 \times 10^{-3}}{6,280 \times 10^{1}} (3\mathbf{a}_y – 1\mathbf{a}_x)$$
$$\mathbf{H}_b = 1,273 \times 10^{-4} (3\mathbf{a}_y – 1\mathbf{a}_x)$$
$$\mathbf{H}_b = 3,819 \mathbf{a}_y + 1,273 \mathbf{a}_x \times 10^{-4} \text{A/m}$$
$$\mathbf{H}_b = 381,9 \mathbf{a}_y + 127,3 \mathbf{a}_x \ \mu \text{A/m}$$
(c) Jika kedua filamen ada
Sesuai dengan prinsip superposisi, total medan magnet adalah jumlah vektor dari masing-masing medan:
$$\mathbf{H}_{total} = \mathbf{H}_a + \mathbf{H}_b$$
$$\mathbf{H}_{total} = (-293,85 \mathbf{a}_x + 195,9 \mathbf{a}_y) \times 10^{-6} + (381,9 \mathbf{a}_y + 127,3 \mathbf{a}_x) \times 10^{-6}$$
$$\mathbf{H}_{total} = (-293,85 + 127,3)\mathbf{a}_x \times 10^{-6} + (195,9 + 381,9)\mathbf{a}_y \times 10^{-6}$$
$$\mathbf{H}_{total} = -97.95 \mathbf{a}_x + 577.8 \mathbf{a}_y \ \mu\text{A/m}$$
