Dua buah konduktor baja berlapis aluminium (aluminum-clad steel) digunakan untuk membangun saluran transmisi dua kawat. Biarkan $\sigma_{Al} = 3.8 \times 10^7 \text{ S/m}$, $\sigma_{St} = 5 \times 10^6 \text{ S/m}$, dan $\mu_{St} = 100 \ \mu\text{H/m}$. Radius dari kabel baja adalah $0.5$ inci, dan ketebalan aluminium sekitar $0.05$ inci. Dielekriknya adalah udara, dan kabel pusat ke permasalahannya adalah $4$ inci. Tentukan $C$, $L$, $G$, dan $R$ untuk saluran pada $10$ MHz
Pada frekuensi tinggi ($10 \text{ MHz}$), arus hampir seluruhnya mengalir pada lapisan luar konduktor karena efek kulit (skin effect).
Kapasitansi ($C$) dan Konduktansi ($G$)
Untuk saluran dua kawat dengan jari-jari luar $a = a_{st} + t$:
$$C = \frac{\pi \epsilon}{\cosh^{-1}(d/2a)} \approx \frac{\pi \epsilon}{\ln(d/a)} \quad (\text{jika } d \gg a)$$
Karena dielektriknya adalah udara yang bersifat isolator sempurna, maka $G = 0$.
Induktansi ($L$)
Induktansi total terdiri dari induktansi eksternal (udara) dan internal (konduktor). Namun, pada $10 \text{ MHz}$, induktansi internal sangat kecil sehingga seringkali cukup menghitung induktansi eksternal:
$$L \approx \frac{\mu_0}{\pi} \ln\left(\frac{d}{a}\right)$$
Resistansi ($R$)
Karena frekuensi tinggi, kita perlu mengecek ketebalan kulit ($\delta$) aluminium. Jika $\delta$ jauh lebih kecil dari tebal lapisan aluminium ($0,05 \text{ inci}$), maka arus hanya mengalir di aluminium dan kita bisa mengabaikan baja di dalamnya.
$$\delta_{Al} = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu_0 \sigma_{Al}}}$$
Satuan dalam Meter
Kita ubah nilainya yang awalnya inci menjadi meter
$$a = 0.5 \times 0.0254 + 0.05 \times 0.0254$$
$$a = 0.0127 + 0.0012$$
$$a = 0.0139 \text{ m}$$
$$d = 4 \times 0.0254$$
$$d = 0.1016 \text{ m}$$
(a) Perhitungan Kapasitansi dan Konduktansi
Kita hitung nilai kapasitansi
$$C \approx \frac{\pi \epsilon}{\ln(d/a)}$$
$$C \approx \frac{3.14 \cdot 8.854 \times 10^{-12}}{\ln(0.1016/0.0139)}$$
$$C \approx \frac{27.801 \times 10^{-12}}{\ln(7.3093)}$$
$$C \approx \frac{2.78 \times 10^{-11}}{1.9891}$$
$$C \approx 1.397 \times 10^{-11}$$
$$\mathbf{C \approx 13.97 \text{ pF/m}}$$
(b) Perhitungan Induktansi
Kita hitung nilai induktansi
$$L \approx \frac{\mu_0}{\pi} \ln\left(\frac{d}{a}\right)$$
$$L \approx \frac{4\pi \times 10^{-7}}{\pi} \ln\left(\frac{0.1016}{0.0139}\right)$$
$$L \approx 4 \times 10^{-7} \ln(7.3093)$$
$$L \approx 4 \times 10^{-7} 1.9891$$
$$L \approx 7.956 \times 10^{-7}$$
$$\mathbf{L \approx 0.795 \ \mu\text{H/m}}$$
(c) Perhitungan Konduktansi
Kita hitung nilai konduktansi
Karena dielektrik udara $(\sigma = 0)$
$$\mathbf{G = 0}$$
(d) Perhitungan Resistansi
Kita hitung nilai ketebalan kulit
$$\delta_{Al} = \frac{1}{\sqrt{\pi f \mu_0 \sigma_{Al}}}$$
$$\delta_{Al} = \frac{1}{\sqrt{3.14 \cdot 10^7 \cdot 12.56 \times 10^{-7} \cdot 3.8 \times 10^7}}$$
$$\delta_{Al} = \frac{1}{\sqrt{14.986 \times 10^{8}}}$$
$$\delta_{Al} = \frac{1}{3.871 \times 10^{4}}$$
$$\delta_{Al} = 2.583 \times 10^{-5}$$
$$\mathbf{\delta_{Al} = 25.83 \ \mu\text{m}}$$
Karena $\delta_{Al}$ ($0,025 \text{ mm}$) jauh lebih kecil dari tebal aluminium ($1,27 \text{ mm}$), arus hanya di kulit aluminium.
$$R_s = \frac{1}{\sigma_{Al} \delta_{Al}}$$
$$R_s = \frac{1}{3.8 \times 10^7 \cdot 2.583 \times 10^{-5}}$$
$$R_s = \frac{1}{9.815 \times 10^2}$$
$$R_s = 1.018 \times 10^{-3} \Omega$$
$$\mathbf{R_s = 1.018 \ \text{m}\Omega}$$
Sekarang kita tinggal mencari resistansi keseluruhan
$$R = \frac{R_s}{\pi a} \times n$$
$$R = \frac{1.018 \times 10^{-3}}{3.14 \times 1.39 \times 10^{-2}} \times 2$$
$$R = \frac{1.018 \times 10^{-3}}{4.346 \times 10^{-2}} \times 2$$
$$R = 0.023 \times 10^{-2} \times 2$$
$$\mathbf{R = 0.046 \times 10^{-2} \text{ m}/\Omega}$$
