Pertimbangkan dua gelombang terpolarisasi-$x$ yang merambat berlawanan arah sepanjang sumbu $z$.Gelombang yang merambat ke arah $+z$ (forward) memiliki frekuensi $\omega_2$.Gelombang yang merambat ke arah $-z$ (backward) memiliki frekuensi $\omega_1$, di mana $\omega_1 < \omega_2$.Kedua frekuensi tersebut sedikit bergeser dari frekuensi rata-ratanya, $\omega_0$, sedemikian sehingga $\omega_0 – \omega_1 = \omega_2 – \omega_0 \ll \omega_0$.Gunakan bentuk medan kompleks untuk menyusun ekspresi total medan listrik, lalu tentukan distribusi densitas daya (proporsional terhadap $EE^*$). Jawaban Anda harus dalam bentuk “gelombang berdiri” yang sebenarnya bergerak perlahan sepanjang sumbu $z$. Temukan ekspresi kecepatan pola gelombang tersebut dan tentukan apakah pola bergerak ke arah $z$ maju atau mundur.
Ketika dua gelombang bertemu, medan totalnya adalah jumlah dari keduanya. Jika frekuensinya sama dan arahnya berlawanan, terbentuk gelombang berdiri murni (simpul dan perutnya diam). Karena $\omega_1 \neq \omega_2$, terjadi perbedaan fase yang berubah terhadap waktu. Hal ini menyebabkan pola interferensi (perut dan simpul) tidak diam di tempat, melainkan bergeser perlahan. Ini adalah cara menghitung intensitas gelombang. Secara matematis, ini akan memunculkan suku kosinus yang merepresentasikan profil spasial dari pola interferensi tersebut.
Konstruksi Medan Listrik Total
Misalkan $\Delta\omega$ adalah selisih frekuensi dari rata-rata: $\Delta\omega = \omega_2 – \omega_0 = \omega_0 – \omega_1$. Maka:
- $\omega_2 = \omega_0 + \Delta\omega$
- $\omega_1 = \omega_0 – \Delta\omega$
- $k_2 = k_0 + \Delta k$
- $k_1 = k_0 – \Delta k$
- $\Delta k = \Delta\omega / c$
Kita hitung medan listrik total:
$$E_{total} = E_0 e^{j(\omega_2 t – k_2 z)} + E_0 e^{j(\omega_1 t + k_1 z)}$$
$$E_{total} = E_0 e^{j((\omega_0 + \Delta\omega) \cdot t – (k_0 + \Delta k) \cdot z)} + E_0 e^{j((\omega_0 – \Delta\omega) \cdot t + (k_0 – \Delta k) z)}$$
$$E_{total} = E_0 e^{j(\omega_0 t + \Delta\omega t – k_0 z – \Delta k z)} + E_0 e^{j(\omega_0 t – \Delta\omega t + k_0 z – \Delta k z)}$$
$$E_{total} = E_0 e^{j \omega_0 t + j \Delta\omega t – j k_0 z – j \Delta k z} + E_0 e^{j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z – j \Delta k z}$$
Menentukan Densitas Daya
Kita cari konjugat dari medan listrik total
$$E_{total}^* = E_0 e^{-j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z + j \Delta k z} + E_0 e^{-j \omega_0 t + j \Delta\omega t – j k_0 z + j \Delta k z}$$
Densitas daya proporsional terhadap
$$|E_{total}|^2 = E_{total} \cdot E_{total}^*$$
Untuk mempermudah, kita gunakan substitusi
- $A = j \omega_0 t + j \Delta\omega t – j k_0 z – j \Delta k z$
- $-A = -j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z + j \Delta k z$
- $B = j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z – j \Delta k z$
- $-B = -j \omega_0 t + j \Delta\omega t – j k_0 z + j \Delta k z$
Kita selesaikan perhitungannya
$$|E_{total}|^2 = [E_0 e^{A} + E_0 e^{B}] \cdot [E_0 e^{-A} + E_0 e^{-B}]$$
$$|E_{total}|^2 = [E_0 e^{A} \cdot E_0 e^{-A} + E_0 e^{A} \cdot E_0 e^{-B} + E_0 e^{B} \cdot E_0 e^{-A} + E_0 e^{B} \cdot E_0 e^{-B}]$$
$$|E_{total}|^2 = [E_0^2 e^{A – A} + E_0^2 e^{-A + B} + E_0^2 e^{B – A} + E_0 e^{B – B}]$$
$$|E_{total}|^2 = [E_0^2 e^{0} + E_0^2 \cdot e^{-A} \cdot e^{B} + E_0^2 e^{B} \cdot e^{-A} + E_0^2 e^{0}]$$
$$|E_{total}|^2 = [2E_0^2 + 2E_0^2 \cdot e^{-A} \cdot e^{B}]$$
$$|E_{total}|^2 = 2E_0^2[1 + e^{-A} \cdot e^{B}]$$
Kita selesaikan bagian eksponensial
$$e^{-A} \cdot e^{B}$$
$$e^{-j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z + j \Delta k z} \cdot e^{j \omega_0 t – j \Delta\omega t + j k_0 z – j \Delta k z}$$
$$e^{-j \omega_0 t + j \omega_0 t – j \Delta\omega t – j \Delta\omega t j k_0 z + j k_0 z + j \Delta k z – j \Delta k z}$$
$$e^{-2j \Delta\omega t + 2j k_0 z}$$
$$e^{j(-2 \Delta\omega + 2 k_0 z)}$$
Kita gunakan identitas euler
$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$$
$$e^{j(-2 \Delta\omega + 2 k_0 z)} = \cos(-2 \Delta\omega t + 2 k_0 z) + j\sin(-2 \Delta\omega t + 2 k_0 z)$$
Karena kita menggunakan bilangan real, kita singkirkan bilangan imajiner
$$\cos(-2 \Delta\omega t + 2 k_0 z)$$
Masukkan ke persamaan
$$|E_{total}|^2 = 2E_0[1 + \cos(-2 \Delta\omega t + 2 k_0 z)]$$
Persamaannya menjadi
$$EE^* \propto 2E_0^2 [1 + \cos(-2\Delta\omega t + 2k_0 z)]$$
Kita gunakan identitas cosinus
$$1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta)$$
$$1 + \cos(2 \cdot (-\Delta\omega t + k_0 z) = 2\cos^2(-\Delta\omega t + k_0 z)$$
Dengan manipulasi cosinus, persamaan akhirnya adalah
$$EE^* \propto 2E_0^2 \cdot 2\cos^2(-\Delta\omega t + k_0 z)$$
$$EE^* \propto 4E_0^2 \cos^2(-\Delta\omega t + k_0 z)$$
Kecepatan dan Arah Pola
Pola gelombang berdiri ini ditentukan oleh argumen kosinus:
$$k_0 z – \Delta\omega t = \text{konstan}$$
Untuk mencari kecepatan ($v_{pattern}$), kita turunkan terhadap waktu:
$$\frac{d}{dt}k_0 z – \frac{d}{dt}\Delta\omega t = \frac{d}{dt}\text{konstan}$$
$$k_0 \frac{dz}{dt} – \Delta\omega = 0$$
$$k_0 \frac{dz}{dt} = \Delta\omega$$
$$\frac{dz}{dt} = \frac{\Delta\omega}{k_0}$$
Dengan substitusi $k_0 = \omega_0/c$
$$\frac{dz}{dt} = c\frac{\Delta\omega}{\omega_0}$$
Karena definisi kecepatan adalah turunan posisi terhadap waktu
$$v_{pattern} = c\frac{\Delta\omega}{\omega_0}$$
Pola bergerak dengan kecepatan $c (\Delta\omega / \omega_0)$. Karena $\Delta\omega \ll \omega_0$, pola ini bergerak jauh lebih lambat daripada kecepatan cahaya. Karena tanda pada $\Delta\omega t$ negatif (dalam bentuk $k_0 z – \Delta\omega t$), pola tersebut merambat ke arah $+z$ (forward direction). Secara intuitif, gelombang dengan frekuensi lebih tinggi ($\omega_2$) “menang” dan mendorong pola ke arah perambatannya.
