Konduksi tunak (steady-state) dua dimensi terjadi pada benda padat silindris berongga dengan konduktivitas termal $k = 22 \text{ W/m} \cdot \text{K}$, jari-jari luar $r_o = 1,5 \text{ m}$, dan panjang total $2z_o = 8 \text{ m}$, dengan titik asal sistem koordinat terletak di titik tengah garis sumbu silinder. Permukaan dalam silinder diisolasi, dan distribusi suhu di dalam silinder dinyatakan dalam bentuk $T(r,z) = a + br^2 + c \ln (r) + d z^2$, dengan $a = −20^\circ \text{C}$, $b = 150^\circ \text{C/m}^2$, $c = −12^\circ \text{C}$, $d = −300^\circ \text{C/m}^2$, serta $r$ dan $z$ dalam satuan meter.
(a) Tentukan jari-jari dalam $r_i$ silinder.
(b) Dapatkan persamaan untuk laju pembangkitan panas volumetrik, $\dot{q} \text{(W/m}^3\text{)}$.
(c) Tentukan distribusi aksial fluks panas pada permukaan luar, $q”_{r}(r_o, z)$. Berapakah laju panas pada permukaan luar tersebut? Apakah panas mengalir masuk ke dalam atau keluar dari silinder?
(d) Tentukan distribusi radial fluks panas pada permukaan ujung silinder, $q”_r(r, +z_o)$ dan $q”_r(r, −z_o)$. Berapakah laju panas yang bersesuaian? Apakah panas mengalir masuk ke dalam atau keluar dari silinder?
(e) Verifikasi bahwa hasil Anda konsisten dengan neraca energi total pada silinder.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Konduktivitas Termal ($k$): $22 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
- Jari-Jari Luar ($r_o$): $1,5 \text{ m}$
- Panjang Aksial ($z_o$): $4 \text{ m}$
- Rentang Aksial: $-4 \text{ m} \leq z_o \leq 4 \text{ m}$
- Fungsi Suhu ($T(r,z)$): $a + br^2 + c \ln (r) + d z^2$
- Konstanta a ($a$): $−20^\circ \text{C}$
- Konstanta b ($b$): $150^\circ \text{C/m}^2$
- Konstanta c ($c$): $−12^\circ \text{C}$
- Konstanta d ($d$): $-300^\circ \text{C/m}^2$
(a) Menentukan Jari-Jari Dalam ($r_i$)
Permukaan dalam diisolasi sempurna, artinya fluks panas radial di $r = r_i$ bernilai nol:
$$q”_r(r_i, z) = -k \left. \frac{\partial T}{\partial r} \right\vert{}_{r = r_i}$$
$$q”_r(r_i, z) = -k \cdot 0$$
$$q”_r(r_i, z) = 0$$
Turunkan suhu terhadap jari-jari
$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} [a + br^2 + c \ln (r) + d z^2]$$
$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r} [a] + \frac{\partial}{\partial r} [br^2] + \frac{\partial}{\partial r} [c \ln (r)] + \frac{\partial}{\partial r} [d z^2]$$
$$\frac{\partial T}{\partial r} = 2br + \frac{c}{r}$$
Kita ubah nilai turunan menjadi nol dan memanipulasi persamaan dengan substitusi jari-jari dalam
$$2br_i + \frac{c}{r_i} = 0 \rightarrow 2br_i = -\frac{c}{r_i} \rightarrow 2br_i^2 = -c$$
$$r_i^2 = -\frac{c}{2b} \rightarrow r_i = \sqrt{-\frac{c}{2b}}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$r_i = \sqrt{-\frac{-12}{2 \cdot 150}} \rightarrow r_i = \sqrt{\frac{12}{300}}$$
$$r_i = \sqrt{0,04} \rightarrow r_i = 0,2 \text{ m}$$
(b) Persamaan Laju Pembangkitan Panas Volumetrik ($\dot{q}$)
Turunkan suhu terhadap aksial
$$\frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} [a + br^2 + c \ln (r) + d z^2]$$
$$\frac{\partial T}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} [a] + \frac{\partial}{\partial z} [br^2] + \frac{\partial}{\partial z} [c \ln (r)] + \frac{\partial}{\partial z} [d z^2]$$
$$\frac{\partial T}{\partial z} = 2dz$$
Kita gunakan persamaan difusi panas 2D koordinat silinder (kondisi tunak):
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(k \frac{\partial T}{\partial z} \right) + \dot{q} = 0$$
Kita manipulasi persamaan difusi panas tersebut
$$\dot{q} = -\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r \frac{\partial T}{\partial r} \right) – \frac{\partial}{\partial z} \left(k \frac{\partial T}{\partial z} \right)$$
$$\dot{q} = -\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left(k r \left(2br + \frac{c}{r} \right) \right) – \frac{\partial}{\partial z} (k \cdot 2dz)$$
$$\dot{q} = -\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (2bkr^2 + c) – \frac{\partial}{\partial z} (2dkz)$$
$$\dot{q} = -\frac{1}{r} 4bkr – 2dk$$
$$\dot{q} = -4bk – 2dk$$
$$\dot{q} = -k(4b + 2d)$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$\dot{q} = -22 \cdot (4(150) + 2(-300))$$
$$\dot{q} = -22 \cdot (600 – 600)$$
$$\dot{q} = -22 \cdot 0$$
$$\dot{q} = 0 \text{ W/m}^3$$
(c) Distribusi Fluks Panas dan Laju Panas pada Permukaan Luar ($r = r_o$)
Distribusi Aksial Fluks Panas ($q”_r(r_o, z)$):
$$q”_r(r_o, z) = -k \left. \frac{\partial T}{\partial r} \right \vert{}_{r = r_o}$$
$$q”_r(r_o, z) = -k \left(2b r_o + \frac{c}{r_o} \right)$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$q”_r(r_o, z) = -22 \cdot \left(2 \cdot 150 \cdot 1,5 + \frac{-12}{1,5} \right)$$
$$q”_r(r_o, z) = -22 \cdot (450 – 8)$$
$$q”_r(r_o, z) = -22 \cdot 442$$
$$q”_r(r_o, z) = -9724 \text{ W/m}^2$$
Laju Panas Total pada Permukaan Luar ($q”_r(r_o, z)$):
$$q_{r_o,z} = q”_r(r_o, z) \cdot A_o$$
$$q_{r_o,z} = q”_r(r_o, z) \cdot (2\pi r_o \cdot 2z_o)$$
$$q_{r_o,z} = q”_r(r_o, z) \cdot 4 \cdot \pi \cdot r_o \cdot z_o$$
$$q_{r_o,z} = -9724 \cdot 4 \cdot 3,142 \cdot 1,5 \cdot 4$$
$$q_{r_o,z} = -733267,392 \text{ W}$$
Karena nilai fluks/laju bernilai negatif, arah aliran panas bertentangan dengan arah sumbu $+r$. Panas mengalir masuk ke dalam silinder melalui permukaan luar.
(d) Distribusi Fluks Panas dan Laju Panas pada Permukaan Ujung ($z = \pm z_o$)
Kita gunakan hukum Fourier pada konduksi
$$q”_z(r, z) = -k \frac{\partial T}{\partial z}$$
$$q”_z(r, z) = -k (2dz)$$
$$q”_z(r, z) = -2kdz$$
- Kita uji pada titik atas ($z = + z_o = + 4 \text{ m}$):
$$q”_z(r, +4) = -2 \cdot 22 \cdot (-300) \cdot 4$$
$$q”_z(r, +4) = 52800 \text{ W/m}^2$$
Mengalir keluar dari silinder ke arah sumbu $+z$.
- Kita uji pada titik bawah ($z = – z_o = – 4 \text{ m}$):
$$q”_z(r, -4) = -2 \cdot 22 \cdot (-300) \cdot -4$$
$$q”_z(r, -4) = -52800 \text{ W/m}^2$$
Mengalir keluar dari silinder ke arah sumbu $-z$.
Kita hitung luas penampang ujung
$$A_{ujung} = \pi(r_o^2 – r_i^2)$$
$$A_{ujung} = 3,142 \cdot ((1,5)^2 – (0,2)^2)$$
$$A_{ujung} = 3,142 \cdot (2,25 – 0,04)$$
$$A_{ujung} = 3,142 \cdot 2,21$$
$$A_{ujung} = 6,943820 \text{ W/m}^2$$
- Kita uji pada ujung atas ($z = +4 \text{ m}$):
$$q_{z, +z_o} = q”_z(r, +4) \cdot A_{ujung}$$
$$q_{z, +z_o} = 52800 \cdot 6,943820$$
$$q_{z, +z_o} = 366633,696 \text{ W}$$
- Kita uji pada ujung bawah ($z = -4 \text{ m}$):
$$q_{z, -z_o} = -q”_z(r, -4) \cdot A_{ujung}$$
$$q_{z, -z_o} = 52800 \cdot 6,943820$$
$$q_{z, -z_o} = 366633,696 \text{ W}$$
(e) Verifikasi Neraca Energi Total
Berdasarkan kondisi tunak (steady-state) tanpa pembangkitan energi ($\dot{E}_{gen} = 0$), total panas yang masuk harus persis sama dengan total panas yang keluar ($\dot{E}_{in} – \dot{E}_{out} = 0$):
Total Panas Masuk ($\dot{E}_{in}$) berasal dari permukaan luar ($r = r_o$):
$$\dot{E}_{in} = \vert{}q_{r,o}\vert{} = 733267,392 \text{ W}$$
Total Panas Keluar ($\dot{E}_{out}$) berasal dari permukaan dua ujung ($z = +z_o$ dan $z = -z_o$):
$$\dot{E}_{out} = q_{z,+z_o} + q_{z,-z_o}$$
$$\dot{E}_{out} = 366633,696 + 366633,696$$
$$\dot{E}_{out} = 733267,392 \text{ W}$$
Kita bandingkan panas yang masuk dengan panas yang keluar
$$\dot{E}_{in} \approx \dot{E}_{out} \approx -733267,392 \text{ kW}$$
Telah Terverifikasi Konsisten! Neraca energi seimbang sempurna di mana seluruh panas yang masuk melalui selimut silinder luar dilepaskan secara merata (masing-masing 50%) melalui permukaan ujung atas dan bawah.
