Mengalirnya arus listrik melalui batang penghantar panjang dengan jari-jari $r_i$ dan konduktivitas termal $k_r$ menghasilkan pemanasan volumetrik seragam dengan laju $q$. Batang penghantar tersebut dibalut dengan material pelapis (cladding) yang tidak menghantarkan listrik, memiliki jari-jari luar $r_o$ dan konduktivitas termal $k_c$, serta didinginkan melalui konveksi oleh fluida di sekitarnya.
Untuk kondisi tunak (steady-state), tuliskan bentuk persamaan panas yang sesuai untuk batang dan lapisan pelapis tersebut. Tentukan pula syarat batas yang tepat untuk penyelesaian persamaan-persamaan tersebut.
Persamaan Difusi Panas
Sistem dianggap sebagai konduksi 1D arah radial (variasi arah $\phi$ dan $z$ diabaikan) pada kondisi tunak (steady-state).
a. Untuk Batang Penghantar ($0 \le r \le r_i$)
Batang memiliki konduktivitas termal $k_r$ dan pembangkitan panas volumetrik seragam $\dot{q}$:
$$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left(k_r \ r \frac{d T_r}{dr} \right) + \dot{q} = 0$$
Kita selesaikan dengan menggunakan aturan produk
$$\frac{1}{r} \cdot \frac{d}{dr} \left(k_r \ r \cdot \frac{d T_r}{dr} \right) + \dot{q} = 0$$
$$\frac{1}{r} \cdot \left(k_r \ r \cdot \frac{d^2 T_r}{d r^2} + k_r \cdot \frac{d T_r}{dr} \right) + \dot{q} = 0$$
$$\frac{1}{r} \cdot \left(k_r \ r \cdot \frac{d^2 T_r}{d r^2} \right) + \frac{1}{r} \cdot \left(k_r \cdot \frac{d T_r}{dr} \right) + \dot{q} = 0$$
$$\frac{1}{r} \cdot \left(r \cdot \frac{d^2 T_r}{d r^2} \right) k_r + \frac{1}{r} \cdot \left(\frac{d T_r}{dr} \right) k_r + \dot{q} = 0$$
$$\frac{d^2 T_r}{d r^2} \cdot k_r + \frac{1}{r} \frac{d T_r}{dr} \cdot k_r + \dot{q} = 0$$
Jika $k_r$ konstan, dapat ditulis menjadi:
$$\frac{d^2 T_r}{d r^2} + \frac{1}{r} \frac{d T_r}{dr} + \frac{\dot{q}}{k_r} = 0$$
b. Untuk Lapisan Pelapis / Cladding ($r_i \le r \le r_o$)
Pelapis memiliki konduktivitas termal $k_c$ dan tidak ada pembangkitan panas internal ($\dot{q} = 0$):
$$\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( k_c \, r \frac{d T_c}{dr} \right) = 0$$
Kita selesaikan dengan menggunakan aturan produk
$$\frac{1}{r} \cdot \frac{d}{dr} \left( k_c \ r \cdot \frac{d T_c}{dr} \right) = 0$$
$$\frac{1}{r} \left(k_c \ r \cdot \frac{d^2 T_c}{d r^2} + k_c \cdot \frac{dT_c}{dr} \right) = 0$$
$$\frac{1}{r} \cdot \left(k_c \ r \cdot \frac{d^2 T_c}{d r^2} \right) + \frac{1}{r} \cdot \left(k_c \cdot \frac{dT_c}{dr} \right) = 0$$
$$\frac{1}{r} \cdot \left(r \cdot \frac{d^2 T_c}{d r^2} \right) k_c + \frac{1}{r} \cdot \left(\frac{dT_c}{dr} \right) k_c = 0$$
$$\frac{d^2 T_c}{d r^2} \cdot k_c + \frac{1}{r} \frac{dT_c}{dr} \cdot k_c = 0$$
Jika $k_c$ konstan, dapat ditulis menjadi:
$$\frac{d^2 T_c}{d r^2} + \frac{1}{r} \frac{dT_c}{dr} = 0$$
Kita ubah menjadi bentuk paling sederhana
$$r\frac{d^2 T_c}{d r^2} + \frac{dT_c}{dr} = 0$$
$$r \cdot \frac{d^2 T_c}{d r^2} + 1 \cdot \frac{dT_c}{dr} = 0$$
$$\frac{d}{dr} \left(r \frac{dT_c}{dr} \right) = 0$$
Syarat Batas (Boundary Conditions)
Karena terdapat dua daerah yang masing-masing diwakili oleh persamaan diferensial orde dua, diperlukan 4 syarat batas untuk menentukan semua konstanta integrasi:
- Di Pusat Batang ($r = 0$): Syarat Simetri
Suhu di pusat silinder bernilai maksimum, sehingga gradien suhu bernilai nol:
$$\left. \frac{dT_r}{dr} \right\vert{}_{r = 0} = 0$$
- Di Antarmuka ($r = r_i$): Kontak Suhu Kontinu
Tidak ada hambatan kontak termal antara batang dan pelapis, sehingga suhunya sama:
$$T_r(r_i) = T_c(r_i)$$
- Di Antarmuka ($r = r_i$): Kesetimbangan Fluks Kalor
Fluks kalor konduksi yang keluar dari batang penghantar harus sama dengan fluks kalor konduksi yang masuk ke lapisan pelapis:
$$-k_r \left. \frac{dT_r}{dr} \right\vert{}_{r = r_i} = -k_c \left. \frac{dT_c}{dr} \right\vert{}_{r = r_i}$$
- Di Permukaan Luar Pelapis ($r = r_o$): Kondisi Batas Konveksi
Fluks kalor konduksi dari permukaan luar pelapis sama dengan fluks kalor konveksi yang dilepaskan ke fluida lingkungan:
$$-k_c \left. \frac{dT_c}{dr} \right\vert{}_{r=r_o} = h \left[ T_c(r_o) – T_\infty \right]$$
