Konduksi satu dimensi dan stabil tanpa pembangkitan energi terjadi di dinding bidang dengan konduktivitas termal yang konstan.
(a) Apakah distribusi suhu yang ditentukan mungkin dilakukan? Jelaskan secara singkat alasan Anda.
(b) Dengan suhu di $x = 0$ dan suhu fluida masing-masing ditetapkan pada $T(0) = 0^\circ \text{C}$ dan $T_\infty = 20^\circ \text{C}$, hitung dan plot suhu di $x = L$, $T(L)$, sebagai fungsi dari $h$ untuk $10 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K} \leq h \leq 100 \text{ W/m}^2 \cdot \text{ K}$. Jelaskan secara singkat hasil Anda.
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Tebal Dinding ($L$): $0,18 \text{ m}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $4,5 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
- Suhu Fluida ($T_\infty$): $20^\circ \text{C}$
- Suhu Maksimum ($T(L)$): $120^\circ \text{C}$
- Suhu Minimum ($T(0)$): $0^\circ \text{C}$
- Pembangkitan Energi ($\dot{q}$): $0 \text{ W/m}^3$
(a) Analisis Kemungkinan Distribusi Suhu
Kita cari nilai dari gradien suhu
$$\frac{dT}{dx} = \frac{\Delta T}{\Delta x}$$
$$\frac{dT}{dx} = \frac{120}{0,18}$$
$$\frac{dT}{dx} = 666,666 \text{ K/m}$$
Kita cari fluks kalor konduksi di permukaan $x = L$
$$q”_{cond} = -k \cdot \frac{dT}{dx}$$
$$q”_{cond} = -4,5 \cdot 666,666$$
$$q”_{cond} = -3000 \text{ W/m}^2$$
Di permukaan $x = L$, suhu permukaan adalah $T(L) = 120^\circ\text{C}$, sedangkan suhu udara luar $T_\infty = 20^\circ\text{C}$. Karena $T(L) > T_\infty$, fluida di luar seharusnya menerima kalor melalui konveksi keluar permukaan.
$$q”_{conv} = h \cdot (T(L) – T_\infty)$$
$$q”_{conv} = 30 \cdot (393,15 – 293,15)$$
$$q”_{conv} = 30 \cdot 100$$
$$q”_{conv} = 3000 \text{ W/m}^2$$
Untuk memenuhi kesetimbangan energi tanpa pembangkitan panas di permukaan, kalor yang tiba di $x = L$ dari dinding harus sama dengan kalor yang dilepas ke udara ($q”_{\text{cond, arriving}} = q”_{\text{conv}}$). Namun, grafik menunjukkan kalor mengalir masuk ke dalam dinding dari $x = L$ ke $x = 0$ ($q”_{\text{cond}} = -3000\text{ W/m}^2$), sementara konveksi melepas kalor ke udara luar ($q”_{\text{conv}} = +3000\text{ W/m}^2$). Hal ini melanggar Hukum I Termodinamika (tidak ada sumber energi internal yang mensuplai kalor ke kedua arah tersebut secara bersamaan).
(b) Perhitungan & Skrip Plot $T(L)$ terhadap $h$
Pada kondisi steady-state yang valid tanpa sumber panas internal lain, neraca energi di permukaan $x = L$ menghubungkan konduksi 1D linier dari $x = 0$ dengan konveksi di $x = L$:
$$-k \frac{T(L) – T(0)}{L} = h (T(L) – T_\infty)$$
$$-4,5 \cdot \frac{T(L) – 0}{0,18} = h \cdot (T(L) – 20)$$
$$-25 \cdot (T(L)) = h \cdot T(L) – 20h$$
$$-25 \cdot (T(L)) – h \cdot T(L) = -20h$$
$$-(25 + h)(T(L)) = -20h$$
$$T(L) = \frac{20h}{25 + h}$$
Kita uji pada tiga nilai koefisien konveksi berbeda
- $h = 10 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K} \rightarrow T(L) = \frac{20 \cdot 10}{25 + 10} = \frac{200}{35} = 5,714 \text{ W/m}^2$
- $h = 55 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K} \rightarrow T(L) = \frac{20 \cdot 55}{25 + 55} = \frac{1100}{80} = 13,75 \text{ W/m}^2$
- $h = 100 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K} \rightarrow T(L) = \frac{20 \cdot 100}{25 + 100} = \frac{2000}{125} = 16 \text{ W/m}^2$
