Konduksi tunak satu dimensi tanpa pembangkitan energi terjadi pada cangkang bola dengan jari-jari dalam $r_1$ dan jari-jari luar $r_2$. Pada kondisi apakah distribusi suhu linear yang ditunjukkan di bawah ini dapat terjadi?
Distribusi suhu linear pada cangkang bola dapat terjadi jika konduktivitas termal material ($k$) bervariasi terhadap suhu dengan fungsi tertentu, yaitu berbanding terbalik dengan kuadrat suhu atau $k(T) \propto \frac{1}{T^2}$ (atau berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari, $k(r) \propto \frac{1}{r^2}$).
Persamaan Umum Konduksi Bola
Untuk konduksi 1D radial, tunak (steady-state), dan tanpa pembangkitan energi ($\dot{q} = 0$), laju perpindahan panas konduksi ($q_r$) harus konstan di setiap posisi radial $r$:
$$q_r = -k(T) \cdot A_r \frac{dT}{dr} = \text{konstan}$$
Dengan luas penampang bola $A_r = 4\pi r^2$:
$$q_r = -k(T) \cdot (4\pi r^2) \frac{dT}{dr} = \text{konstan}$$
$$\implies k(T) \cdot r^2 \frac{dT}{dr} = C_1$$
Syarat Distribusi Suhu Linear
Agar grafik $T(r)$ berbentuk garis lurus (linear), maka turunan/kemiringan suhu terhadap $r$ harus bernilai konstan:
$$\frac{dT}{dr} = C_2 = \text{konstan} < 0$$
Substitusi Syarat Linear ke Persamaan Konduksi
Substitusikan $\frac{dT}{dr} = C_2$ ke dalam persamaan laju konduksi:
$$k(T) \cdot r^2 \cdot (C_2) = C_1$$
$$k(T) \cdot r^2 = \frac{C_1}{C_2} = \text{konstan } C_3$$
$$k(r) = \frac{C_3}{r^2}$$
Karena $T$ bervariasi secara linear terhadap $r$ ($T \propto -r$), maka $r$ juga bervariasi secara linear terhadap $T$. Dengan demikian, konduktivitas termal harus bervariasi terhadap suhu sesuai dengan:
$$k(T) \propto \frac{1}{T^2}$$
Distribusi suhu $T(r)$ berbentuk linear pada cangkang bola hanya dapat terjadi jika konduktivitas termal material ($k$) tidak konstan, melainkan bervariasi secara khusus berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari ($k \propto \frac{1}{r^2}$) atau berbanding terbalik dengan kuadrat suhu ($k \propto \frac{1}{T^2}$).
