Pembangkitan panas internal yang seragam sebesar $q’ = 6 \times 10^7 \text{ W/m}^3$ terjadi pada batang bahan bakar reaktor nuklir berbentuk silinder berdiameter $60 \text{ mm}$, dan dalam kondisi tunak (steady-state) distribusi suhunya berbentuk $T(r) = a + br^2$, di mana $T$ dalam derajat Celsius dan $r$ dalam meter, dengan nilai $a = 900^\circ \text{C}$ dan $b = -5,26 \times 10^5 \ {}^\circ \text{C/m}^2$. Sifat-sifat batang bahan bakar tersebut adalah $k = 30 \text{ W/m} \cdot \text{K}$, $\rho = 1100 \text{ kg/m}^3$, dan $c_p = 800 \text{ J/kg} \cdot \text{K}$.
(a) Berapakah laju perpindahan panas per satuan panjang batang pada $r = 0 \text{ mm}$ (garis tengah) dan pada $r = 30 \text{ mm}$ (permukaan)?
(b) Jika tingkat daya reaktor tiba-tiba ditingkatkan menjadi $q’ = 2 \times 10^8 \text{ W/m}^3$, berapakah laju perubahan suhu awal terhadap waktu pada $r = 0 \text{ mm}$ dan $r = 30 \text{ mm}$?
(a) Laju Perpindahan Panas per Satuan Panjang
Kita turunkan suhu terhadap posisi
$$\frac{\partial T}{\partial r} = \frac{d}{dr}(a + br^2)$$
$$\frac{\partial T}{\partial r} = 2br$$
Kita manipulasi hukum Fourier pada laju perpindahan panas per satuan panjang
$$q'(r) = -k \cdot A’ \cdot \frac{dT}{dr}$$
$$q'(r) = -k \cdot (2 \pi r) \cdot 2br$$
$$q'(r) = -4 \pi b k r^2$$
Kita uji pada panjang batang sepanjang $0 \text{ mm}$
$$q'(r) = -4 \cdot 3,142 \cdot -5,26 \times 10^5 \cdot 30 \cdot (0)^2$$
$$q'(r) = -1983,230 \times 10^5 \cdot 0$$
$$q'(r) = 0 \text{ W/m}$$
Kita uji pada panjang batang sepanjang $30 \text{ mm}$
$$q'(r) = -4 \cdot 3,142 \cdot -5,26 \times 10^5 \cdot 30 \cdot (0,03)^2$$
$$q'(r) = -1983,230 \times 10^5 \cdot 0,000900$$
$$q'(r) = -178490 \text{ W/m}$$
(b) Laju Perubahan Suhu Awal Terhadap Waktu
Kita manipulasi persamaan difusi kalor silinder
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \left( r k \frac{\partial T}{\partial r} \right) + \dot{q}_2 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \cdot k \cdot 2br) + \dot{q}_2 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (2bkr^2) + \dot{q}_2 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{1}{r} (4bkr) + \dot{q}_2 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$4bk + \dot{q}_2 = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{4bk + \dot{q}_2}{\rho c_p} = \frac{\partial T}{\partial t}$$
Substitusikan nilai-nilainya
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{4 \cdot -5,26 \times 10^5 \cdot 30 + 2 \times 10^8}{1100 \cdot 800}$$
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{-631,2 \times 10^5 + 2000 \times 10^5}{8,8 \times 10^5}$$
$$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{1368,8 \times 10^5}{8,8 \times 10^5}$$
$$\frac{\partial T}{\partial t} = 155,545 \text{ K/s}$$
- Pada $r = 0 \text{ mm}$: $\frac{\partial T}{\partial t} = 155,55 \text{ K/s}$
- Pada $r = 30 \text{ mm}$: $\frac{\partial T}{\partial t} = 155,55 \text{ K/s}$
Laju kenaikan suhu awal bernilai seragam / sama di seluruh posisi radial $r$ karena suku konduksi volumetrik $4kb$ bernilai independen terhadap $r$.
