Sebuah panci digunakan untuk mendidihkan air dengan meletakkannya di atas kompor, yang mentransfer panas dengan laju tetap $q_0$. Terdapat dua tahap dalam proses ini. Pada Tahap 1, air dipanaskan dari suhu awal (suhu ruang) $T_i$ hingga mencapai titik didih, sementara panas ditransfer dari panci melalui konveksi alami. Selama tahap ini, nilai koefisien konveksi $h$ dapat dianggap konstan, sedangkan suhu massa air meningkat seiring waktu, $T_\infty = T_\infty(t)$. Pada Tahap 2, air telah mendidih, dan suhunya tetap pada nilai konstan, $T_\infty = T_b$, meskipun pemanasan terus berlangsung. Tinjau dasar panci dengan ketebalan $L$ dan diameter $D$, serta sistem koordinat di mana $x = 0$ dan $x = L$ masing-masing menunjukkan permukaan yang bersentuhan dengan kompor dan air.
(a) Tuliskan bentuk persamaan panas serta kondisi batas/ awal yang menentukan variasi suhu terhadap posisi dan waktu, $T(x, t)$, pada dasar panci selama Tahap 1. Nyatakan hasil Anda dalam parameter $q_0$, $D$, $L$, $h$, dan $T_\infty$, serta sifat-sifat material panci yang relevan.
(b) Selama Tahap 2, permukaan panci yang bersentuhan dengan air berada pada suhu tetap, $T(L, t) = T_L > T_b$. Tuliskan bentuk persamaan panas dan kondisi batas yang menentukan distribusi suhu $T(x)$ pada dasar panci. Nyatakan hasil Anda dalam parameter $q_0$, $D$, $L$, dan $T_L$, serta sifat-sifat material panci yang relevan.
(a) Tahap 1: Pemanasan Transien (Sebelum Mendidih)
Pada tahap ini, proses bersifat transien (1D, tak-tunak) karena suhu panci dan air berubah terhadap waktu $t$.
Persamaan Panas (Heat Equation 1D Transien):
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{\rho c_p}{k} \frac{\partial T}{\partial t}$$
$$k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}$$
Kondisi Batas (Boundary Conditions – BC):
- Di permukaan kompor ($x = 0$) berarti fluks panas konduksi masuk sama dengan fluks panas dari kompor:
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{q_0}{A}$$
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{q_0}{\frac{\pi}{4} D^2}$$
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{4q_0}{\pi D^2}$$
- Di permukaan air ($x = L$) berarti panas yang terkonduksi keluar panci ditransfer ke air secara konveksi:
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right\vert{}_{x=L} = h \left[ T(L,t) – T_\infty(t) \right]$$
Kondisi Awal (Initial Condition – IC):
- Pada saat $t = 0$, seluruh dasar panci berada pada suhu ruang awal $T_i$:
$$T(x, 0) = T_i (0 \le x \le L)$$
(b) Tahap 2: Kondisi Tunak (Mendidih)
Pada tahap ini, mendidih terjadi dengan fluks panas konstan dan suhu permukaan air dijaga tetap pada $T(L,t) = T_L$, sehingga distribusi suhu $T(x)$ telah mencapai kondisi tunak (steady-state).
Persamaan Panas (Heat Equation 1D Steady-State):
$$\frac{d^2 T}{dx^2} = 0$$
$$\int \frac{d^2 T}{dx^2} = \frac{dT}{dx} \implies \frac{dT}{dx} = C_1$$
$$\int \frac{dT}{dx} = T \implies T = C_1x + C_2$$
Persamaan ini menghasilkan distribusi suhu berupa garis lurus/linier: $T(x) = C_1 x + C_2$
Kondisi Batas (Boundary Conditions – BC):
- Di permukaan kompor ($x = 0$): Fluks panas dari kompor tetap konstan:
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{q_0}{A}$$
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{q_0}{\frac{\pi}{4} D^2}$$
$$-k \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right \vert{}_{x = 0} = \frac{q_0}{4 D^2}$$
- Di permukaan air ($x = L$): Suhu permukaan diketahui bernilai konstan $T_L$:
$$T(L) = T_L$$
Distribusi Suhu $T(x)$ (Solusi Eksplisit):
$$T(x) = T_L + \frac{4q_0}{\pi D^2 k} (L – x)$$
