Selama proses pembuatannya, kaca lembaran bersuhu $873,15 \text{ K}$ didinginkan dengan mengalirkan udara di atas permukaannya sedemikian rupa sehingga koefisien perpindahan panas konveksi bernilai $h = 5 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$. Untuk mencegah keretakan, diketahui bahwa gradien suhu tidak boleh melebihi $15^\circ \text{ C/mm}$ di titik mana pun pada kaca selama proses pendinginan berlangsung. Jika konduktivitas termal kaca adalah $1,4 \text{ W/m} \cdot \text{K}$ dan emisivitas permukaannya adalah $0,8$, berapakah suhu udara terendah yang dapat digunakan pada tahap awal pendinginan? Asumsikan suhu udara sama dengan suhu lingkungan sekitar.
Konsep Dasar Pengerjaan
Fluks kalor konduksi ($q”_{\text{kond}}$) yang mengalir dari bagian dalam kaca menuju permukaan luar ditentukan oleh gradien suhu di permukaan ($x = 0$).
$$q”_{\text{kond}} = -k \left( \frac{dT}{dx} \right)_{x = 0}$$
Pada awal pendinginan, fluks kalor konduksi dari dalam kaca dilepaskan ke permukaan luar, lalu dibuang ke lingkungan melalui konveksi udara dan radiasi:
$$q”_{\text{masuk}} = q”_{\text{masuk}}$$
$$q”_{\text{kond}} = q”_{\text{konv}} + q”_{\text{rad}}$$
$$-k \left(\frac{dT}{dx} \right)_{x = 0} = h \cdot (T_s – T_\infty) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_{\text{sur}}^4)$$
Agar kaca tidak retak, gradien suhu maksimum di permukaan tidak boleh melebihi nilai batasnya. Karena panas mengalir ke luar (suhu menurun ke arah permukaan luar), maka gradien suhu bernilai negatif:
$$\left( \frac{dT}{dx} \right)_{x = 0} \geq -15^\circ \text{ C/mm}$$
$$\left( \frac{dT}{dx} \right)_{x = 0} \geq -15.000^\circ \text{ C/m}$$
$$\left( \frac{dT}{dx} \right)_{x = 0} \geq -15.000 \text{ K/m}$$
Pencarian Suhu Terendah
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Temperatur Tinggi ($T_s$): $873,15 \text{ K}$
- Koefisien Konveksi ($h$): $5 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}$
- Batas Gradien Suhu Maksimum $\left(\frac{dT}{dt} \right)$: $-15.000 \text{ K/m}$
- Konduktivitas Termal ($k$): $1,4 \text{ W/m} \cdot \text{K}$
- Emisivitas Permukaan ($\varepsilon$): $0,80$
- Konstanta Stefan-Boltzmann ($\sigma$): $5,67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}^4$
Kita cari temperatur awal dengan menggunakan kesetimbangan energi
$$-k \cdot \left(\frac{dT}{dx} \right)_{x = 0} = h \cdot (T_s – T_\infty) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_\infty^4)$$
$$-1,4 \cdot (-15000) = 5 \cdot (873,15 – T_\infty) + 0,80 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((873,15)^4 – T_\infty^4)$$
$$21000 = 4365,75 – 5T_\infty + 4,536 \times 10^{-8} \cdot ((8,731 \times 10^2)^4 – T_\infty^4)$$
$$21000 = 4365,75 – 5T_\infty + 4,536 \times 10^{-8} \cdot (5811,067 \times 10^8 – T_\infty^4)$$
$$21000 = 4365,75 – 5T_\infty + 26359 – 4,536 \times 10^{-8} T_\infty^4$$
$$-9724,75 = – 5T_\infty – 4,536 \times 10^{-8} T_\infty^4$$
$$9724,75 = 5T_\infty + 4,536 \times 10^{-8} T_\infty^4$$
Melalui iterasi presisi diperoleh:
$$\mathbf{T_\infty \approx 619 \text{ K}} \text{ atau } \mathbf{T_\infty \approx 346^\circ \text{C}}$$
