Perhatikan Soal 1.2.
(a) Jika permukaan dingin isolasi yang terbuka berada pada suhu $T_2 = 293,15 \text{ K}$, berapakah nilai koefisien perpindahan panas konveksi pada sisi dingin isolasi tersebut jika suhu lingkungan sekitar adalah $T_{sur} = 320 \text{ K}$, suhu udara sekitar adalah $T_\infty = 278,15 \text{ K}$, dan emisivitasnya adalah $\varepsilon = 0,95$? Nyatakan hasil kamu dalam satuan $\text{W/m}^2 \cdot \text{K}$ dan $\text{W/m}^2 \cdot ^\circ \text{C}$.
(b) Dengan menggunakan koefisien perpindahan panas konveksi yang kamu hitung pada bagian (a), tentukan suhu permukaan, $T_2$, saat emisivitas permukaan divariasikan dalam rentang $0,05 \leq \varepsilon \leq 0,95$. Suhu dinding panas isolasi tetap konstan pada $T_1 = 303,15 \text{ K}$. Tampilkan hasil kamu dalam bentuk grafik.
Untuk memahaminya, kamu bisa mengunjungi artikel ini.
Pada kondisi tunak (steady-state), fluks panas konduksi yang melewati isolasi dari sisi panas ($T_1$) ke sisi dingin ($T_2$) harus sama dengan jumlah fluks panas yang dilepaskan dari permukaan dingin ke lingkungan sekitar melalui konveksi dan radiasi.
$$q”_{\text{masuk}} = q”_{\text{keluar}}$$
$$q”_{\text{kond}} = q”_{\text{konv}} + q”_{\text{rad}}$$
$$\frac{k_{kond} \cdot (T_1 – T_2)}{L} = k_{konv} \cdot (T_s – T_\infty) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_s^4 – T_{sur}^4)$$
Kita identifikasi data yang diperlukan
- Konduktivitas termal ($k_{kond}$): $0,029 \text{ W/m}\cdot\text{K}$
- Ketebalan lembaran ($L$): $0,025 \text{ m}$
- Suhu pertama ($T_1$): $303,15 \text{ K}$
- Suhu kedua ($T_2$): $293,15 \text{ K}$
- Suhu lingkungan radiasi ($T_{sur}$): $320 \text{ K}$
- Suhu lingkungan konveksi ($T_\infty$): $278,15 \text{ K}$
- Emisivitas radiasi ($\varepsilon$): $0,95$
- Konstanta Stefan-Boltzmann ($\sigma$): $5,67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}^4$
(a) Koefisien Konveksi yang Digunakan
Karena permukaan dingin berada pada $T_2 = 293,15 \text{ K}$ dan dikelilingi oleh dinding lingkungan yang lebih hangat pada $T_{\text{sur}} = 320 \text{ K}$, radiasi netto sebenarnya mengalir masuk ke dalam permukaan isolasi (nilai radiasinya negatif jika didefinisikan sebagai kalor keluar).
Kita gunakan prinsip kesetimbangan energi yang sudah kita peroleh
$$\frac{k_{kond} \cdot (T_1 – T_2)}{L} = k_{konv} \cdot (T_2 – T_\infty) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_2^4 – T_{sur}^4)$$
$$\frac{0,029 \cdot (303,15 – 293,15)}{0,025} = k_{konv} \cdot (293,15 – 278,15) + 0,95 \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot ((293,15)^4 – (320)^4)$$
$$\frac{0,029 \cdot 10}{0,025} = k_{konv} \cdot 15 + 5,386 \times 10^{-8} \cdot ((2,931 \times 10^2)^4 – (3,2 \times 10^2)^4)$$
$$\frac{0,29}{0,025} = 15k_{konv} + 5,386 \times 10^{-8} \cdot (73,801 \times 10^8 – 104,857 \times 10^8)$$
$$11,6 = 15k_{konv} + 5,386 \times 10^{-8} \cdot -31,056 \times 10^8$$
$$11,6 = 15k_{konv} – 167,267$$
$$178,267 = 15k_{konv}$$
$$k_{konv} = \frac{178,267}{15}$$
$$\mathbf{k_{konv} = 11,884 \text{ W/m}^2 \cdot \text{K}}$$
Karena selisih suhu dalam Kelvin sama dengan selisih suhu dalam Celsius ($\Delta 1\text{ K} = \Delta 1^\circ\text{C}$), nilainya dalam kedua satuan adalah sama:
$$\mathbf{k_{konv} = 11,884 \text{ W/m}^2 \cdot {}^\circ \text{C}}$$
(b) Suhu Permukaan $T_2$ sebagai Fungsi Emisivitas ($\varepsilon$)
Sekarang, dengan menggunakan nilai $h = 11,94\text{ W/m}^2\cdot\text{K}$ yang konstan, kita ingin mencari nilai $T_2$ saat $\varepsilon$ bervariasi dari $0,05$ hingga $0,95$.
Kita gunakan prinsip kesetimbangan energi yang sudah kita peroleh
$$\frac{k_{kond} \cdot (T_1 – T_2)}{L} = k_{konv} \cdot (T_2 – T_\infty) + \varepsilon \cdot \sigma \cdot (T_2^4 – T_{sur}^4)$$
Manipulasi nilainya sampai kita dapat fungsi sederhana yang cukup membutuhkan emisivitas agar bisa mendapatkan nilai suhu permukaan
$$\frac{0,029 \cdot (303,15 – T_2)}{0,025} = 11,884 \cdot (T_2 – 278,15) + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (T_2^4 – (320)^4)$$
$$\frac{8,791350 – 0,029T_2}{0,025} = 11,884T_2 – 3293,296 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (T_2^4 – (3,2 \times 10^2)^4)$$
$$351,654 – 1,16T_2 = 11,884T_2 – 3293,296 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot (T_2^4 – 104,857 \times 10^8)$$
$$351,654 – 1,16T_2 = 11,884T_2 – 3293,296 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – \varepsilon \cdot 594,539$$
$$3644,950 – 1,16T_2 = 11,884T_2 + \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – \varepsilon \cdot 594,539$$
$$3644,950 – 13,044T_2 = \varepsilon \cdot 5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – \varepsilon \cdot 594,539$$
$$3644,950 – 13,044T_2 = \varepsilon \cdot (5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 594,539)$$
$$\frac{3644,950 – 13,044T_2}{5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 594,539} = \varepsilon$$
Sehingga hubungan emisivitas dengan suhu awal dapat dicari dengan fungsi
$$\mathbf{\varepsilon = \frac{3644,950 – 13,044T_2}{5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 594,539}}$$
Kita uji pada kedua nilai emisivitas pada batas pertama
$$0,05 = \frac{3644,950 – 13,044T_2}{5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 594,539}$$
$$0,283500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 29,726950 = 3644,950 – 13,044T_2$$
$$0,283500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 = 3674,676950 – 13,044T_2$$
$$0,283500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 + 13,044T_2 = 3674,676950$$
Melalui cara iterasi (trial-error) kita memperoleh
$$\mathbf{T_2 \approx 281 \text{ K}} \text{ atau } \mathbf{T_2 \approx 8^\circ \text{ C}}$$
Kita uji pada kedua nilai emisivitas pada batas kedua
$$0,95 = \frac{3644,950 – 13,044T_2}{5,67 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 594,539}$$
$$5,386500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 – 564,812050 = 3644,950 – 13,044T_2$$
$$5,386500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 = 4209,762050 – 13,044T_2$$
$$5,386500 \times 10^{-8} \cdot T_2^4 + 13,044T_2 = 4209,762050$$
Melalui cara iterasi (trial-error) kita memperoleh
$$\mathbf{T_2 \approx 293 \text{ K}} \text{ atau } \mathbf{T_2 \approx 20^\circ \text{ C}}$$
Untuk grafiknya, kita bisa melihatnya dibawah ini
