Sebuah sumber tiga fasa seimbang hubungan bintang (Wye) memiliki nilai tegangan fasa efektif sebesar $V_p = 210\text{ V rms}$. Sumber ini menyuplai beban tiga fasa hubungan bintang (Wye) tidak seimbang yang memiliki nilai impedansi per fasa sebagai berikut $\mathbf{Z}_A = 80\ \Omega, \mathbf{Z}_B = 60 + j90\ \Omega, \mathbf{Z}_C = j80\ \Omega$ Asumsikan bahwa saluran netral antara sumber dan beban terhubung ($V_{Nn} = 0$). Hitunglah nilai fasor arus-arus saluran ($\mathbf{I}_a, \mathbf{I}_b, \mathbf{I}_c$) dan total daya kompleks ($\mathbf{S}_{\text{total}}$) yang disalurkan ke beban.
Tegangan Fasa Sumber Acuan
Karena soal tidak menentukan urutan fasa maupun sudut awal secara eksplisit, kita menetapkan urutan fasa positif (abc) standar dengan menjadikan fasa $a$ sebagai acuan sudut $0^\circ$:
- $\mathbf{V}_{an} = 210 \angle 0^\circ\text{ V}$
- $\mathbf{V}_{bn} = 210 \angle -120^\circ\text{ V}$
- $\mathbf{V}_{cn} = 210 \angle 120^\circ\text{ V}$
Analisis Arus pada Sistem Empat-Kawat
Karena kawat netral terhubung sempurna, titik netral beban ($N$) terkunci pada potensial yang sama dengan titik netral sumber ($n$). Hal ini mempermudah perhitungan karena tegangan pada masing-masing fasa beban akan sama persis dengan tegangan fasa sumber pasangannya. Arus saluran dicari secara independen menggunakan Hukum Ohm:
$$\mathbf{I}_a = \frac{\mathbf{V}_{an}}{\mathbf{Z}_A}, \quad \mathbf{I}_b = \frac{\mathbf{V}_{bn}}{\mathbf{Z}_B}, \quad \mathbf{I}_c = \frac{\mathbf{V}_{cn}}{\mathbf{Z}_C}$$
Ubah masing-masing impedansi ke dalam bentuk fasor
- Impedansi bagian a
$$\mathbf{Z}_a = \sqrt{80^2 + 0^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{0}{80}\right)$$
$$\mathbf{Z}_a = \sqrt{6400} \angle \tan^{-1}(0)\$$
$$\mathbf{Z}_a = 80 \angle 0^\circ \ \Omega$$
- Impedansi bagian b
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{60^2 + 90^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{90}{60}\right)$$
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{3600 + 8100} \angle \tan^{-1}(1,5)\$$
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{11700} \angle 56,309^\circ$$
$$\mathbf{Z}_b = 108,166 \angle 56,309^\circ \ \Omega$$
- Impedansi bagian c
$$\mathbf{Z}_c = \sqrt{0^2 + 80^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{80}{0}\right)$$
$$\mathbf{Z}_c = \sqrt{6400} \angle \tan^{-1}(\infty)\$$
$$\mathbf{Z}_c = 80 \angle 90^\circ \ \Omega$$
Kita hitung masing maisng arusnya
- Arus bagian a
$$\mathbf{I}_a = \frac{210 \angle 0^\circ}{80 \angle 0^\circ}$$
$$\mathbf{I}_a = \frac{210}{80} \angle (0^\circ – 0^\circ)$$
$$\mathbf{I}_a = 2,625 \angle 0^\circ$$
- Arus bagian b
$$\mathbf{I}_b = \frac{210 \angle -120^\circ}{108,166 \angle 56,309^\circ}$$
$$\mathbf{I}_b = \frac{210}{108,166} \angle (-120^\circ – 56,309^\circ)$$
$$\mathbf{I}_b = 1,941 \angle -176,309^\circ$$
- Arus bagian c
$$\mathbf{I}_c = \frac{210 \angle 120^\circ}{80 \angle 90^\circ}$$
$$\mathbf{I}_c = \frac{210}{80} \angle (120^\circ – 90^\circ)$$
$$\mathbf{I}_c = 2,625 \angle 30^\circ$$
Total Daya Kompleks ($\mathbf{S}_{\text{total}}$)
Kita buat konjugat dari masing-masing arus
- $$\mathbf{I}_a^* = 2,625 \angle 0^\circ$$
- $$\mathbf{I}_b^* = 1,941 \angle 176,309^\circ$$
- $$\mathbf{I}_c^* = 2,625 \angle -30^\circ$$
Pada sistem yang tidak seimbang, daya kompleks total dihitung dengan menjumlahkan daya kompleks yang diserap oleh masing-masing fasa secara terpisah. Daya kompleks per fasa diperoleh dari perkalian tegangan fasa dengan konjugat kompleks (complex conjugate) dari arus fasanya:
$$\mathbf{S}_{\text{total}} = \mathbf{S}_a + \mathbf{S}_b + \mathbf{S}_c$$
$$\mathbf{S}_{\text{total}} = (\mathbf{V}_{an} \cdot \mathbf{I}_a^*) + (\mathbf{V}_{bn} \cdot \mathbf{I}_b^*) + (\mathbf{V}_{cn} \cdot \mathbf{I}_c^*)$$
Kita cari masing-masing daya komplekas dan ubah bentuknya ke rektangular
- Bagian daya kompleks a:
$$\mathbf{S}_a = (210 \angle 0^\circ) \cdot (2,625 \angle 0^\circ)$$
$$\mathbf{S}_a = (210 \cdot 2,625) \angle (0^\circ + 0^\circ)$$
$$\mathbf{S}_a = 551,25 \angle 0^\circ$$
$$\mathbf{S}_a = 551,25 \cos(0^\circ) + j551,25 \sin(0^\circ)$$
$$\mathbf{S}_a = 551,25 \cdot 1 + j55,125 \cdot 0$$
$$\mathbf{S}_a = 551,25 + j0 \text{ VA}$$
- Bagian daya kompleks b:
$$\mathbf{S}_b = (210 \angle -120^\circ) \cdot (1,941 \angle 176,309^\circ)$$
$$\mathbf{S}_b = (210 \cdot 1,941) \angle (-120^\circ + 176,309^\circ)$$
$$\mathbf{S}_b = 407,61 \angle 56,309^\circ$$
$$\mathbf{S}_b = 407,61 \cos(56,309^\circ) + j407,61 \sin(56,309^\circ)$$
$$\mathbf{S}_b = 407,61 \cdot 0,554 + j407,61 \cdot 0,832$$
$$\mathbf{S}_b = 225,815 + j339,131 \text{ VA}$$
- Bagian daya kompleks c:
$$\mathbf{S}_c = (210 \angle 120^\circ) \cdot (2,625 \angle -30^\circ)$$
$$\mathbf{S}_c = (210 \cdot 2,625) \angle (120^\circ – 30^\circ)$$
$$\mathbf{S}_c = 551,25 \angle 90^\circ$$
$$\mathbf{S}_c = 551,25 \cos(90^\circ) + j551,25 \sin(90^\circ)$$
$$\mathbf{S}_c = 551,25 \cdot 0 + j551,25 \cdot 1$$
$$\mathbf{S}_c = 0 + j551,25 \text{ VA}$$
Kita jumlah semua daya kompleks
$$\mathbf{S}_{\text{total}} = \mathbf{S}_a + \mathbf{S}_b + \mathbf{S}_c$$
$$\mathbf{S}_{\text{total}} = (551,25 + j0) + (225,815 + j339,131) + (0 + j551,25)$$
$$\mathbf{S_{\text{total}} = 280,94 + j890,381 \text{ VA}}$$
Ubah bentuknya ke dalam bentuk polar
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{777,065^2 + 890,381^2} \angle \tan^{-1}\left(\frac{890,381}{777,065}\right)$$
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{603830,014 + 792778,325} \angle \tan^{-1}(1,145)\$$
$$\mathbf{Z}_b = \sqrt{1396608,339} \angle 48,867^\circ$$
$$\mathbf{Z_b = 1181,781 \angle 48,867^\circ \text{ VA}}$$
