Perhatikan suku dalam $H_{\phi s} = \frac{I_0 d}{4 \pi} \sin \theta e^{-jkr} \left(j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2}\right)$ (atau dalam $H_{\theta s} = \frac{I_0 k d}{4 \pi r} \left[1 + \frac{1}{(kr)^2} \right]^{1/2} \sin \theta e^{-j(kr – \delta_{\phi})}$) yang memberikan ketergantungan $1/r^2$ pada medan magnet dipol Hertzian. Dengan asumsi bahwa suku tersebut mendominasi dan kondisi medan dekat memenuhi $kr \ll 1$, tunjukkan bahwa medan magnet yang dihasilkan akan sama dengan medan magnet yang diperoleh dengan menerapkan Hukum Biot-Savart $d\mathbf{H} = \frac{I \, \mathbf{dl} \times \mathbf{a}_r}{4\pi r^2$, berorientasi sepanjang sumbu-$z$, dan berpusat di titik asal (origin).
Medan Magnet Kompleks Dipol Hertzian
Medan magnet yang dihasilkan oleh sebuah elemen arus (dipol pendek) sepanjang sumbu-$z$ hanya memiliki komponen azimut ($\mathbf{a}_\phi$). Persamaan phasor lengkap untuk medan magnet $H_{\phi s}$ di ruang hampa adalah:
$$H_{\phi s} = \frac{I_0 d}{4\pi} \sin\theta \left( \frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} \right) e^{-jkr}$$
Di sini terlihat ada dua suku ketergantungan jarak:
- Suku $\frac{jk}{r}$ yang dominan di medan jauh (pancaran radiasi gelombang).
- Suku $\frac{1}{r^2}$ yang dominan di medan dekat (induksi kuasi-statis).
Pendekatan Medan Dekat ($kr \ll 1$)
Ketika jarak titik amatan sangat dekat dengan elemen arus, nilai perkalian $kr$ mendekati nol ($kr \rightarrow 0$). Konsekuensinya:
- Suku $\frac{1}{r^2}$ menjadi jauh lebih besar daripada $\frac{jk}{r}$ (karena $\frac{1}{r^2} \gg \frac{k}{r}$).
- Faktor fase $e^{-jkr} \approx 1$.
Hukum Biot-Savart Statis
Hukum Biot-Savart digunakan dalam magnetostatika untuk mencari medan magnet akibat elemen arus tunak $I \, \mathbf{dl}$:
$$d\mathbf{H} = \frac{I \, \mathbf{dl} \times \mathbf{a}_r}{4\pi r^2}$$
Menerapkan Kondisi Batas Medan Dekat pada Dipol Hertzian
Mari kita ambil persamaan lengkap $H_{\phi s}$ lalu abaikan suku medan jauh gelombang ($\frac{jk}{r}$) serta dekati nilai fasenya menjadi $e^{-jkr} \approx 1$:
$$H_{\phi s} \approx \frac{I_0 d}{4\pi} \sin\theta \left( \frac{1}{r^2} \right)$$
Sederhanakan dalam bentuk vektor medan magnet koordinat bola:
$$\mathbf{H}_{\text{near}} = \frac{I_0 d \sin\theta}{4\pi r^2} \mathbf{a}_\phi$$
Menghitung Medan dengan Hukum Biot-Savart
Mari kita buktikan secara independen menggunakan Hukum Biot-Savart magnetostatika untuk elemen arus yang sama:
- Elemen arus berorientasi sumbu-$z$: $\mathbf{dl} = d \mathbf{a}_z$
- Arus yang mengalir: $I = I_0$
Maka persamaannya menjadi:
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 (d \mathbf{a}_z) \times \mathbf{a}_r}{4\pi r^2}$$
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 d (\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_r)}{4\pi r^2}$$
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 d ((\cos\theta \mathbf{a}_r – \sin\theta \mathbf{a}_\theta) \times \mathbf{a}_r)}{4\pi r^2}$$
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 d (\cos\theta (\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_r) – \sin\theta (\mathbf{a}_\theta \times \mathbf{a}_r))}{4\pi r^2}$$
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 d (\cos\theta (0) – \sin\theta (-\mathbf{a}_z))}{4\pi r^2}$$
$$\mathbf{H}_{\text{Biot-Savart}} = \frac{I_0 d \sin\theta}{4\pi r^2} \mathbf{a}_\phi$$
- Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_z$ adalah $\cos\theta \mathbf{a}_r – \sin\theta \mathbf{a}_\theta$
- Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_r$ adalah $0$
- Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_\theta \times \mathbf{a}_r$ adalah $-\mathbf{a}_z$
Kesimpulan & Kunci Jawaban
Dengan membandingkan hasil akhir dari kedua metode:
$$\mathbf{H_{\text{near}} = \color{red}\frac{I_0 d \sin\theta}{4\pi r^2} \mathbf{a}_\phi}$$
$$\mathbf{H_{\text{Biot-Savart}} = \color{red}{\frac{I_0 d \sin\theta}{4\pi r^2} \mathbf{a}_\phi}}$$
Terbukti bahwa ketika kondisi medan dekat terpenuhi ($kr \ll 1$), komponen radiasi medan magnet menghilang dan menyisakan medan induksi kuasi-statis dengan nilai yang identik/persis sama dengan perhitungan Hukum Biot-Savart, yaitu:
$$\mathbf{H} = \frac{I_0 d \sin\theta}{4\pi r^2} \mathbf{a}_\phi \quad \text{A/m}$$
