Evaluasilah vektor Poynting rata-rata waktu, $\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{R}e\{\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^*\}$, untuk dipol Hertzian dengan mengasumsikan kasus umum yang melibatkan seluruh komponen medan seperti yang diberikan oleh $H_{\theta s} = \frac{I_0 d}{4\pi} \sin \theta e^{-jkr} \left(j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right)$, $E_{rs} = \frac{I_0 d}{2\pi} \eta \cos \theta e^{-jkr} \left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right)$, dan $E_{\theta s} = \frac{I_0 d}{4\pi} \eta \sin \theta e^{-jkr} \left(\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right)$. Bandingkan hasil yang kita peroleh dengan kasus medan jauh (far-zone) pada $\langle S \rangle = \frac{1}{2} \left(\frac{I_0 k d}{4 \pi r} \right)^2 \eta \sin^2 \theta$.
Perkalian Silang Vektor
Mari kita lakukan perkalian silang berdasarkan arah vektor satuannya:
$$\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^* = (E_{r s} \mathbf{a}_r + E_{\theta s} \mathbf{a}_\theta) \times (H_{\phi s}^* \mathbf{a}_\phi)$$
$$\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^* = E_{r s} H_{\phi s}^* (\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_\phi) + E_{\theta s} H_{\phi s}^* (\mathbf{a}_\theta \times \mathbf{a}_\phi)$$
$$\mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^* = -E_{r s} H_{\phi s}^* \mathbf{a}_\theta + E_{\theta s} H_{\phi s}^* \mathbf{a}_r$$
- Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_r \times \mathbf{a}_\phi$ adalah $-\mathbf{a}_\theta$
- Catatan: hasil dari $\mathbf{a}_\theta \times \mathbf{a}_\phi$ adalah $\mathbf{a}_r$
Kita gabungkan dengan persamaan awal
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{R}e\{-E_{r s} H_{\phi s}^* \mathbf{a}_\theta + E_{\theta s} H_{\phi s}^* \mathbf{a}_r \}$$
$$\mathbf{\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{R}e \{E_{\theta s} H_{\phi s}^*\} \mathbf{a}_r – \frac{1}{2} \mathcal{R}e \{E_{r s} H_{\phi s}^*\}\mathbf{a}_\theta}$$
Evaluasi Komponen Arah $\mathbf{a}_r$
Kita cari konjugat dari $H_{\phi s}^*$
$$H_{\phi s}^* = \frac{I_0 d}{4\pi} \sin \theta e^{jkr} \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right)$$
Kita lanjutkan persamaannya
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \{E_{\theta s} H_{\phi s}^*\} \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0 d}{4\pi} \eta \sin \theta e^{-jkr} \left(\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \frac{I_0 d}{4\pi} \sin \theta e^{jkr} \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0 d}{4\pi} \cdot \frac{I_0 d}{4\pi} \cdot \eta \cdot \sin \theta \cdot \sin \theta \cdot e^{-jkr} \cdot e^{jkr} \left(\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0^2 d^2}{16\pi^2} \cdot \eta \cdot \sin^2 \theta \cdot \left(\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_r$$
Kita selesaikan perkalian imajiner
$$\left(\frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right)$$
$$\left(\frac{jk}{r} \cdot -j\frac{k}{r}\right) + \left(\frac{jk}{r} \cdot \frac{1}{r^2}\right) + \left(\frac{1}{r^2} \cdot -j\frac{k}{r}\right) + \left(\frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{r^2}\right) + \left(\frac{1}{jkr^3} \cdot -j\frac{k}{r}\right) + \left(\frac{1}{jkr^3} \cdot \frac{1}{r^2}\right)$$
$$\frac{k^2}{r^2} + \frac{jkr}{r^3} – \frac{jkr}{r^3} + \frac{1}{r^4} – \frac{1}{r^4} + \frac{1}{jkr^5}$$
$$\frac{k^2}{r^2} + \frac{1}{jkr^5}$$
Kita selesaikan lagi persamaannya
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0^2 d^2}{8\pi^2} \cdot \eta \cdot \sin^2 \theta \cdot \frac{k^2}{r^2} + \frac{1}{jkr^5} \right] \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{I_0^2 d^2}{16\pi^2} \cdot \eta \cdot \sin^2 \theta \cdot \mathcal{R}e \left[\frac{k^2}{r^2} + \frac{1}{jkr^5} \right] \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{I_0^2 d^2}{16\pi^2} \cdot \eta \cdot \sin^2 \theta \cdot \frac{k^2}{r^2} \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \cdot \eta \cdot \frac{I_0^2 d^2}{16\pi^2} \cdot \sin^2 \theta \cdot \frac{k^2}{r^2} \mathbf{a}_r$$
$$\mathbf{\frac{1}{2} \eta \left(\frac{I_0 d k}{4 \pi r} \right)^2 \sin^2 \theta \mathbf{a}_r}$$
Evaluasi Komponen Arah $\mathbf{a}_{\theta}$
Kita cari konjugat dari $H_{\phi s}^*$
$$H_{\phi s}^* = \frac{I_0 d}{4\pi} \sin \theta e^{jkr} \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right)$$
Kita lanjutkan persamaannya
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \{E_{rs} H_{\phi s}^*\} \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0 d}{2\pi} \eta \cos \theta e^{-jkr} \left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \frac{I_0 d}{4\pi} \sin \theta e^{jkr} \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_{\theta}$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0 d}{2\pi} \cdot \frac{I_0 d}{4\pi} \cdot \eta \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta \cdot e^{-jkr} \cdot e^{jkr} \left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_r$$
$$\frac{1}{2} \mathcal{R}e \left[\frac{I_0^2 d^2}{8\pi^2} \cdot \eta \cdot \cos \theta \sin \theta \cdot \left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right) \right] \mathbf{a}_r$$
Kita selesaikan perkalian imajiner
$$\left(\frac{1}{r^2} + \frac{1}{jkr^3} \right) \cdot \left(-j\frac{k}{r} + \frac{1}{r^2} \right)$$
$$\left(\frac{1}{r^2} \cdot -j\frac{k}{r}\right) + \left(\frac{1}{r^2} \cdot \frac{1}{r^2}\right) + \left(\frac{1}{jkr^3} \cdot -j\frac{k}{r}\right) + \left(\frac{1}{jkr^3} \cdot \frac{1}{r^2}\right)$$
$$\frac{jkr}{r^3} – \frac{jkr}{r^3} + \frac{1}{r^4} – \frac{1}{r^4}$$
$$0$$
Karena hasil dari perkalian imajiner adalah $0$, maka nilai keseluruhan dari komponen arah $\mathbf{a}_{\theta}$ adalah $0$
Kesimpulan
Hasil akhirnya adalah
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \color{red}\frac{1}{2} \eta \left(\frac{I_0 d k}{4 \pi r} \right)^2 \sin^2 \theta \mathbf{a}_r$$
Dengan membandingkan hasil evaluasi kasus umum di atas dengan rumus khusus medan jauh (far-zone):
$$\langle \mathbf{S} \rangle_{\text{umum}} = \color{red}\frac{1}{2} \eta \left( \frac{I_0 d k}{4\pi r} \right)^2 \sin^2\theta \mathbf{a}_r$$
Hasil evaluasi kasus umum bernilai identik/persis sama dengan rumus kasus medan jauh $\langle S \rangle = \frac{1}{2} \left(\frac{I_0 k d}{4 \pi r} \right)^2 \eta \sin^2 \theta$. Hal ini membuktikan sebuah konsep fisis yang sangat penting, yaitu suku-suku medan dekat ($1/r^2$ dan $1/r^3$) hanya berkontribusi pada daya reaktif imaginer (daya yang tersimpan) dan saling menghilangkan dalam perhitungan rata-rata waktu, sehingga tidak ada daya dari medan dekat yang ikut merambat menjauhi antena.
