Dua antena pendek diletakkan di pusat koordinat (origin) di ruang hampa. Kedua antena tersebut dialiri arus yang identik sebesar $5 \cos \omega t\text{ A}$. Antena pertama disusun searah sumbu-$\mathbf{a}_z$, dan antena kedua searah sumbu-$\mathbf{a}_y$. Diketahui panjang gelombang $\lambda = 2\pi\text{ m}$ dan panjang antena $d = 0.1\text{ m}$. Tentukan phasor medan listrik $\mathbf{E}_s$ di titik jauh (distant point) berikut (a) $(x = 0, y = 1000, z = 0)$ (b) $(0, 0, 1000)$ (c) $(1000, 0, 0)$ (d) Medan listrik sesaat $\mathbf{E}$ pada saat $t = 0$ di titik $(1000, 0, 0)$. (e) Besar (magnitudo) dari medan listrik sesaat $|\mathbf{E}|$ pada saat $t = 0$ $(1000, 0, 0)$
Konstanta Propagasi ($k$) dan Impedansi Ruang Hampa ($\eta_0$)
Karena $\lambda = 2\pi\text{ m}$, maka konstanta bilangan gelombang ($k$) adalah:
$$k = \frac{2\pi}{\lambda}$$
$$k = \frac{2\pi}{2\pi}$$
$$k = 1\text{ rad/m}$$
Impedansi intrinsik di ruang hampa adalah $\eta_0 \approx 120\pi \ \Omega$.
Bentuk Phasor Arus
Arus sesaat $I(t) = 5 \cos \omega t\text{ A}$ jika diubah ke dalam bentuk phasor kompleks ($I_s$) menjadi:
$$I_s = 5\text{ A}$$
Medan Radiasi Jauh (Far-Field) Antena Pendek
Medan listrik di daerah medan jauh ($r \gg d$) untuk sebuah antena pendek sepanjang sumbu polarisasi hanya memiliki komponen transversal ($\mathbf{a}_\theta$) yang dirumuskan sebagai:
$$E_{\theta s} = j \frac{I_s d \eta_0 k}{4\pi r} \sin\theta \, e^{-jkr}$$
Mari kita hitung terlebih dahulu konstanta pengali di depan agar perhitungan berikutnya lebih sederhana:
$$\frac{I_s d \eta_0 k}{4\pi} = \frac{5 \cdot 0.1 \cdot 120\pi \cdot 1}{4\pi}$$
$$\frac{I_s d \eta_0 k}{4\pi} = \frac{60\pi}{4\pi}$$
$$\frac{I_s d \eta_0 k}{4\pi} = 15$$
Sehingga rumus dasar kontribusi medan komponen polarisasinya menjadi:$$E_s = j \frac{15}{r} \sin\theta \, e^{-jr} \ \mathbf{a}_\theta$$
Prinsip Superposisi
Karena terdapat dua antena yang saling tegak lurus (satu di sumbu-$z$ dan satu di sumbu-$y$), medan total $\mathbf{E}_s$ di titik manapun adalah penjumlahan vektor dari medan yang dihasilkan oleh masing-masing antena:
$$\mathbf{E}_{s,\text{total}} = \mathbf{E}_{s, \text{antena } z} + \mathbf{E}_{s, \text{antena } y}$$
- Antena $z$: Sudut $\theta_z$ diukur dari sumbu-$z$. Vektor arah medannya adalah $\mathbf{a}_{\theta z}$.
- Antena $y$: Sudut $\theta_y$ diukur dari sumbu-$y$. Vektor arah medannya adalah $\mathbf{a}_{\theta y}$.
(a) Di Titik $(0, 1000, 0)$ -> Terletak di Sumbu-$y$ ($r = 1000\text{ m}$)
- Analisis Antena $z$
Titik ini berada di bidang tegak lurus sumbu-$z$, maka sudut $\theta_z = 90^\circ$ ($\sin\theta_z = 1$).
Arah $\mathbf{a}_{\theta z}$ di sumbu-$y$ positif menunjuk ke arah $-\mathbf{a}_z$.
$$\mathbf{E}_{s,z} = j \frac{15}{1000} (1) e^{-j1000} (-\mathbf{a}_z)$$
$$\mathbf{E}_{s,z} = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_z$$
- Analisis Antena $y$
Titik ini berada tepat di ujung/poros sumbu antena $y$, maka sudut $\theta_y = 0^\circ$ ($\sin\theta_y = 0$).
Antena $y$ tidak memancarkan medan ke arah porosnya sendiri.
$$\mathbf{E}_{s,y} = 0$$
- Penjumlahan Total
$$\mathbf{E}_s = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_z + 0$$
$$\mathbf{E_s = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_z \text{ V/m}}$$
(b) Di Titik $(0, 0, 1000)$ -> Terletak di Sumbu-$z$ ($r = 1000\text{ m}$)
- Analisis Antena $z$
Titik ini berada tepat di ujung/poros sumbu antena $z$, maka sudut $\theta_z = 0^\circ$ ($\sin\theta_z = 0$)
Antena $z$ tidak memancarkan medan ke arah porosnya sendiri.
$$\mathbf{E}_{s,z} = 0$$
- Analisis Antena $y$
Titik ini berada di bidang tegak lurus sumbu-$y$, maka sudut $\theta_y = 90^\circ$ ($\sin\theta_y = 1$).
Arah $\mathbf{a}_{\theta y}$ di sumbu-$z$ positif menunjuk ke arah $-\mathbf{a}_y$.
$$\mathbf{E}_{s,y} = j \frac{15}{1000} (1) e^{-j1000} (-\mathbf{a}_y)$$
$$\mathbf{E}_{s,y} = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_y$$
- Penjumlahan Total
$$\mathbf{E}_s = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_y + 0$$
$$\mathbf{E_s = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_y \text{ V/m}}$$
(c) Di Titik $(1000, 0, 0)$ -> Terletak di Sumbu-$x$ ($r = 1000\text{ m}$)
Titik ini berada di bidang khatulistiwa bagi kedua antena ($x$-axis), sehingga sudut dari kedua sumbu antena adalah sama-sama $\theta_z = \theta_y = 90^\circ$ ($\sin = 1$).
- Dari Antena $z$: Di sumbu-$x$ positif, arah $\mathbf{a}_{\theta z}$ menunjuk ke $-\mathbf{a}_z$.
$$\mathbf{E}_{s,z} = j \frac{15}{1000} (1) e^{-j1000} (-\mathbf{a}_z)$$
$$\mathbf{E}_{s,z} = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_z$$
- Dari Antena $y$: Di sumbu-$x$ positif, arah $\mathbf{a}_{\theta y}$ menunjuk ke $-\mathbf{a}_y$.
$$\mathbf{E}_{s,y} = j \frac{15}{1000} (1) e^{-j1000} (-\mathbf{a}_y)$$
$$\mathbf{E}_{s,y} = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_y$$
- Penjumlahan Total
$$\mathbf{E}_s = -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_y + -j 0.015 e^{-j1000} \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{E_s = -j 0.015 e^{-j1000} (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) \text{ V/m}}$$
(d) Menghitung Medan Sesaat $\mathbf{E}$ di $(1000, 0, 0)$ pada $t = 0$
Kita ambil rumus yang didapatkan dari bagian c
$$\mathbf{E}_s = -j 0.015 e^{-j1000} (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) \text{ V/m}$$
Untuk mengubah phasor kembali ke ranah waktu:
$$\mathbf{E}(t) = \mathcal{R}e \{ \mathbf{E}_s e^{j\omega t} \}$$
$$\mathbf{E}(t) = \mathcal{R}e \{ -j 0.015 e^{-j1000} (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) e^{j\omega t} \}$$
$$\mathbf{E}(t) = \mathcal{R}e [-j 0.015 (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) e^{j\omega t} e^{-j1000}]$$
$$\mathbf{E}(t) = \mathcal{R}e [-j 0.015 (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) e^{j\omega t – j1000}]$$
$$\mathbf{E}(t) = \mathcal{R}e [-j 0.015 (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) e^{j(\omega t – 1000)}]$$
$$\mathbf{E}(t) = (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) \mathcal{R}e [(-j 0.015) (\cos(\omega t – 1000) + j\sin(\omega t – 1000))]$$
$$\mathbf{E}(t) = (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) \mathcal{R}e [(-j 0.015 \cos(\omega t – 1000) + 0.015 \sin(\omega t – 1000))]$$
$$\mathbf{{E}(t) = (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) 0.015 \sin(\omega t – 1000)}$$
Substitusi nilai $t = 0$
$$\mathbf{E}(0) = (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) 0.015 \sin(\omega (0) – 1000)$$
$$\mathbf{E}(0) = (\mathbf{a}_y + \mathbf{a}_z) 0.015 \sin(-1000)$$
$$\mathbf{E}(0) = -0.015 \sin(1000)\mathbf{a}_y – 0.015 \sin(1000)\mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{E}(0) = -0.015 \cdot 0,862 \mathbf{a}_y – 0.015 \cdot 0,862 \mathbf{a}_z$$
$$\mathbf{{E}(0) = -0,01293 \mathbf{a}_y – 0,01293 \mathbf{a}_z \text{ V/m}}$$
(e) Menghitung Magnitudo $|\mathbf{E}|$ di $(1000, 0, 0)$ pada $t = 0$
Vektor yang sudah didapatkan adalah
$$\mathbf{E} = -0.0124 \mathbf{a}_y – 0.0124 \mathbf{a}_z$$
Kita bisa mencari magnitudo
$$|\mathbf{E}| = \sqrt{0,00015376 + 0,00015376}$$
$$|\mathbf{E}| = \sqrt{0,00030752}$$
$$|\mathbf{E}| = 0,01753524 \text{ V/m}$$
