Buatlah kurva $r$ vs. $\theta$ dalam koordinat polar yang menunjukkan lokus (kedudukan titik-titik) pada bidang $\phi = 0$ untuk sebuah dipol Hertzian sedemikian rupa sehingga (a) Medan radiasi $|E_{\theta s}|$ bernilai setengah ($1/2$) dari nilainya di titik $r = 10^4\text{ m}, \theta = \pi/2$ (b) Kerapatan daya radiasi rata-rata $\langle S_r \rangle$ bernilai setengah ($1/2$) dari nilainya di titik $r = 10^4\text{ m}, \theta = \pi/2$.
Bagian (a): Lokus untuk $|E_{\theta s}|$ Setengah dari Nilai Referensi
Pada jarak yang sangat jauh dari antena ($r \gg \lambda$), komponen medan listrik yang dominan hanyalah medan radiasi transversal $E_{\theta s}$. Persamaan magnitudo medan listrik medan jauh untuk dipol Hertzian di ruang hampa adalah
$$|E_{\theta s}| = \frac{I_0 d \eta_0 k}{4\pi} \frac{\sin\theta}{r}$$
Dari persamaan di atas, kita bisa melihat hubungan proporsionalitas yang sangat penting
$$|E_{\theta s}| \propto \frac{\sin\theta}{r}$$
Karena $|E_{\theta s}| \propto \frac{\sin\theta}{r}$, kita bisa menuliskan persamaan nilai referensinya sebagai
$$|E_{\theta s}|_{\text{ref}} = C \cdot \frac{\sin(\pi/2)}{10^4}$$
$$|E_{\theta s}|_{\text{ref}} = \frac{C}{10^4}$$
Catatan: C adalah konstanta pengali antena
Dengan syarat yang diberikan pada soal
$$|E_{\theta s}| = \frac{1}{2} |E_{\theta s}|_{\text{ref}}$$
$$C \cdot \frac{\sin\theta}{r} = \frac{1}{2} \left( \frac{C}{10^4} \right)$$
$$\frac{\sin\theta}{r} = \frac{1}{2 \times 10^4}$$
Karena kita ingin mencari nilai dari jari-jari
$$\mathbf{r = 2 \times 10^4 \sin \theta \text{ m}}$$
Persamaan kurva polar yang terbentuk adalah $r = 2 \times 10^4 \sin\theta$. Kurva ini berbentuk dua buah lingkaran sempurna yang bersentuhan di titik pusat (origin), dengan diameter sepanjang $2 \times 10^4\text{ m}$ yang sejajar dengan bidang khatulistiwa ($\theta = \pi/2$).
Bagian (b): Lokus untuk $\langle S_r \rangle$ Setengah dari Nilai Referensi
Kerapatan daya rata-rata (Vektor Poynting) diperoleh dari hubungan medan jauh listrik dan magnetik, yang dirumuskan sebagai
$$\langle S_r \rangle = \frac{1}{2}\frac{|E_{\theta s}|^2}{\eta_0}$$
$$\langle S_r \rangle = \frac{1}{2\eta_0} \left( \frac{I_0 d \eta_0 k}{4\pi} \right)^2 \frac{\sin^2\theta}{r^2}$$
Dari persamaan ini, kita mendapatkan hubungan proporsionalitas untuk daya
$$\langle S_r \rangle \propto \frac{\sin^2\theta}{r^2}$$
Karena $\langle S_r \rangle \propto \frac{\sin^2\theta}{r^2}$, nilai referensinya adalah
$$\langle S_r \rangle_{\text{ref}} = C’ \cdot \frac{\sin^2(\pi/2)}{(10^4)^2}$$
$$\langle S_r \rangle_{\text{ref}} = \frac{C’}{10^8}$$
Catatan: C’ adalah konstanta pengali daya
Dengan syarat yang diberikan pada soal
$$\langle S_r \rangle = \frac{1}{2} \langle S_r \rangle_{\text{ref}}$$
$$C’ \cdot \frac{\sin^2\theta}{r^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{C’}{10^8} \right)$$
$$\frac{\sin^2\theta}{r^2} = \frac{1}{2 \times 10^8}$$
$$r^2 = 2 \times 10^8 \sin^2\theta$$
$$r = \sqrt{2 \times 10^8} \sin\theta$$
$$\mathbf{r = 1.414 \times 10^4 \sin\theta\text{ m}}$$
