Tuliskan persamaan medan listrik dipol Hertzian yang komponen-komponennya diberikan pada $E_{rs} = \frac{I_0 d}{2 \pi r^2} \eta \left[1 + \frac{1}{(kr)^2} \right]^{1/2} \cos \theta e^{[-j(kr – \delta_r)]}$ dan $E_{0s} = \frac{I_0 d}{4 \pi r} \eta \left[1 – \frac{1}{(kr)^2} + \frac{1}{(kr)^4} \right]^{1/2} \sin \theta e^{[-j(kr – \delta_r)]}$ di daerah medan dekat (near zone) pada ruang hampa di mana $kr \ll 1$. Dalam kasus ini, hanya ada satu suku tunggal di masing-masing persamaan yang bertahan (dominan), dan fase $\delta_r$ serta $\delta_\theta$ menyederhana menjadi satu nilai tunggal. Susunlah vektor medan listrik hasil penyederhanaan tersebut dan bandingkan hasilnya dengan medan dipol statis $E = \frac{Q d}{4 \pi \epsilon_0 r^3} (2 \cos \theta \mathbf{a}_r + \sin \theta \mathbf{a}_\theta)$. Hubungan apa yang harus ada antara muatan dipol statis $Q$ dan amplitudo arus $I_0$ agar kedua hasil tersebut identik?
Medan listrik total yang dihasilkan oleh dipol pendek sepanjang sumbu-$z$ memiliki dua komponen dalam koordinat bola ($E_r$ dan $E_\theta$). Bentuk lengkap phasor kompleksnya di ruang hampa adalah:
$$E_r = \frac{I_0 dl \eta_0}{2\pi} \cos\theta \left( \frac{1}{r^2} – \frac{j}{kr^3} \right) e^{-jkr}$$
$$E_\theta = \frac{I_0 dl \eta_0}{4\pi} \sin\theta \left( \frac{jk}{r} + \frac{1}{r^2} – \frac{j}{kr^3} \right) e^{-jkr}$$
Ketika kita berada sangat dekat dengan antena ($r \rightarrow 0$ atau secara elektris $kr \ll 1$), suku pecahan dengan pangkat tertinggi pada penyebut ($1/kr^3$) nilainya akan menjadi sangat besar dan mendominasi mengalahkan suku $1/r^2$ dan $jk/r$. Selain itu, faktor fase gelombang $e^{-jkr} \approx 1$.
Dari elektrostatika dasar, sebuah dipol statis yang terdiri dari dua muatan $+Q$ dan $-Q$ yang terpisah sejauh $dl$ memiliki medan listrik sebesar:
$$\mathbf{E}_{\text{statis}} = \frac{Q dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (2\cos\theta \mathbf{a}_r + \sin\theta \mathbf{a}_\theta)$$
Penyederhanaan Komponen Medan untuk $kr \ll 1$
Mari kita ambil suku yang paling dominan ($\propto \frac{1}{kr^3}$) pada kurung komponen $E_r$ dan $E_\theta$:
- Kita cari untuk $E_r$:
$$E_r \approx \frac{I_0 dl \eta_0}{2\pi} \cos\theta \left( -\frac{j}{kr^3} \right)$$
$$E_r \approx -j \frac{I_0 dl \eta_0}{2\pi k r^3} \cos\theta$$
- Kita cari untuk $E_\theta$:
$$E_\theta \approx \frac{I_0 dl \eta_0}{4\pi} \sin\theta \left( -\frac{j}{kr^3} \right)$$
$$E_\theta \approx -j \frac{I_0 dl \eta_0}{4\pi k r^3} \sin\theta$$
Substitusi Parameter Medium ($\eta_0$ dan $k$)
Kita tahu hubungan konstanta gelombang dan impedansi ruang hampa adalah:
$$\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \quad \text{dan} \quad k = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$$
Jika kita bagi keduanya:
$$\frac{\eta_0}{k} = \frac{\sqrt{\mu_0/\epsilon_0}}{\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}$$
$$\frac{\eta_0^2}{k^2} = \frac{\mu_0/\epsilon_0}{\omega^2\mu_0\epsilon_0}$$
$$\frac{\eta_0^2}{k^2} = \frac{1}{\omega^2\epsilon_0^2}$$
$$\sqrt{\frac{\eta_0^2}{k^2}} = \sqrt{\frac{1}{\omega^2\epsilon_0^2}}$$
$$\frac{\eta_0}{k} = \frac{1}{\omega\epsilon_0}$$
Masukkan nilai $\frac{\eta_0}{k}$ ini ke dalam persamaan medan $E_r$
$$-j \frac{I_0 dl}{2\pi r^3} \cdot \frac{\eta_0}{k} \cdot (\cos\theta)$$
$$-j \frac{I_0 dl}{2\pi \omega \epsilon_0 r^3} (\cos\theta)$$
$$\frac{(I_0/j\omega) dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (2\cos\theta)$$
Masukkan nilai $\frac{\eta_0}{k}$ ini ke dalam persamaan medan $E_{\theta}$
$$-j \frac{I_0 dl}{4\pi r^3} \cdot \frac{\eta_0}{k} \cdot (\sin\theta)$$
$$-j \frac{I_0 dl}{4\pi \omega \epsilon_0 r^3} (\sin\theta)$$
$$\frac{(I_0/j\omega) dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (\sin\theta)$$
Membentuk Vektor Medan Listrik Hasil Akhir
Gabungkan kedua komponen menjadi satu buah vektor medan listrik $\mathbf{E}_{\text{near}}$:
$$\mathbf{E}_{\text{near}} = \frac{(I_0 / j\omega) dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (2\cos\theta \mathbf{a}_r + \sin\theta \mathbf{a}_\theta)$$
Membandingkan dengan Dipol Statis & Mencari Hubungan $Q$ dan $I_0$
Mari kita sandingkan persamaan medan dekat dipol Hertzian dengan medan dipol statis:
$$\mathbf{E}_{\text{near}} = \frac{\mathbf{\color{red}{(I_0 / j\omega)}} dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (2\cos\theta \mathbf{a}_r + \sin\theta \mathbf{a}_\theta)$$
$$\mathbf{E}_{\text{statis}} = \frac{\mathbf{\color{red}{Q}} dl}{4\pi \epsilon_0 r^3} (2\cos\theta \mathbf{a}_r + \sin\theta \mathbf{a}_\theta)$$
Agar kedua hasil tersebut identik secara matematis, maka bagian koefisien muatan dan arus haruslah sama:
$$Q = \frac{I_0}{j\omega} \quad \Rightarrow \quad I_0 = j\omega Q$$
Secara fisis ranah waktu, hubungan ini merepresentasikan hukum kekekalan muatan arus listrik dasar ($i(t) = \frac{dq(t)}{dt}$), di mana turunan waktu terhadap phasor menghasilkan perkalian dengan $j\omega$.
