Sebuah gelombang bidang seragam memiliki medan listrik $\mathbf{E}_s = (E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} \text{ V/m}$. Impedansi intrinsik medium diberikan sebagai $\eta = |\eta| e^{j\phi}$, di mana $\phi$ adalah fase konstan.v(a) Jelaskan polarisasi gelombang dan nyatakan arah perambatannya. (b) Cari $\mathbf{H}_s$. (c) Cari bentuk sesaat $\mathcal{E}(x, t)$ dan $\mathcal{H}(x, t)$. (d) Cari rata-rata vektor Poynting $\langle \mathbf{S} \rangle$ dalam $\text{W/m}^2$. (e) Cari daya rata-rata waktu dalam Watt yang diterima oleh antena dengan penampang persegi panjang (lebar $w$, tinggi $h$), yang digantung sejajar dengan bidang $yz$ pada jarak $d$ dari sumber gelombang.
(a) Polarisasi dan Arah Rambat
- Arah Rambat: Dilihat dari faktor $e^{-j\beta x}$, gelombang merambat ke arah $+x$.
- Polarisasi: Karena komponen $E_y$ dan $E_z$ berada dalam fase yang sama, polarisasinya adalah linier. Vektor medan listrik membentuk sudut tetap terhadap sumbu $y$ dan $z$.
(b) Menentukan $\mathbf{H}_s$
Kita cari kuat medan magnet
$$\mathbf{H}_s = \frac{1}{\eta} \mathbf{a}_k \times \mathbf{E}_s$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{1}{|\eta| e^{j\phi}} \mathbf{a}_x \times (E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x}$$
$$\mathbf{H}_s = \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} (\mathbf{a}_x \times\mathbf{a}_y) – E_{z0} (\mathbf{a}_x \times \mathbf{a}_z)) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} e^{-j\phi}$$
$$\mathbf{H_s = \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x + \phi)} \text{ A/m}}$$
(c) Bentuk Sesaat (Time-Domain)
Medan Listrik bentuk Sesaat
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} [\mathbf{E}_s e^{j\omega t}]$$
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} [(E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x} \cdot e^{j\omega t}]$$
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} [(E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x + j\omega t}]$$
$$\mathcal{E}(x, t) = \text{Re} [(E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{j(-\beta x + \omega t)}]$$
Kita ubah bentuk eksponensial menjadi trigonometri
$$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$
$$e^{j(-\beta x + \omega t)} = \cos(-\beta x + \omega t) + j\sin(-\beta x + \omega t)$$
Kita selesaikan persamaan medan listrik
$$\mathcal{E}(x, t) = (E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} \ \text{Re} [\cos(-\beta x + \omega t) + j\sin(-\beta x + \omega t)]$$
$$\mathcal{E}(x, t) = (E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} \cos(-\beta x + \omega t)$$
Medan Magnet Bentuk Sesaat
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} [\mathbf{H}_s e^{j\omega t}]$$
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} \left[\frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x + \phi)} \cdot e^{j\omega t}\right]$$
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} \left[\frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x + \phi) + j\omega t}\right]$$
$$\mathcal{H}(x, t) = \text{Re} \left[\frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{-j(\beta x + \phi – \omega t)}\right]$$
Kita ubah bentuk eksponensial menjadi trigonometri
$$e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)$$
$$e^{j(-\beta x – \phi + \omega t)} = \cos(-\beta x – \phi + \omega t) + j\sin(-\beta x – \phi + \omega t)$$
Kita selesaikan persamaan medan listrik
$$\mathcal{H}(x, t) = \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} \ \text{Re} [\cos(-\beta x – \phi + \omega t) + j\sin(-\beta x – \phi + \omega t)]$$
$$\mathcal{H}(x, t) = \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x}\cos(-\beta x – \phi + \omega t)$$
(d) Rata-rata Vektor Poynting $\langle \mathbf{S} \rangle$
Kita cari konjugat dari medan magnet
$$H^* = \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{j(\beta x + \phi)}$$
Kita cari rata-rata vektor poynting
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} [ \mathbf{E}_s \times \mathbf{H}_s^* ]$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \text{Re} \left[ ((E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) e^{-\alpha x} e^{-j\beta x}) \times \frac{1}{|\eta|} (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) e^{-\alpha x} e^{j(\beta x + \phi)} \right]$$
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{|\eta|} \cdot (E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) \times (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y) \cdot (e^{-\alpha x} \cdot e^{-\alpha x}) \cdot (e^{-j\beta x} \cdot (e^{j(\beta x + \phi)}))$$
Kita selesaikan perkalian vektor
$$(E_{y0} \mathbf{a}_y – E_{z0} \mathbf{a}_z) \times (E_{y0} \mathbf{a}_z + E_{z0} \mathbf{a}_y)$$
$$E_{y0}^2 (\mathbf{a}_y \times \mathbf{a}_z) – E_{z0}E_{y0} (\mathbf{a}_y \times \mathbf{a}_y) – E_{z0}E_{y0} (\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_z) – E_{z0}^2 (\mathbf{a}_z \times \mathbf{a}_y)$$
$$E_{y0}^2 (\mathbf{a}_x) – E_{z0}E_{y0} (0) – E_{z0}E_{y0} (0) – E_{z0}^2 (-\mathbf{a}_x)$$
$$E_{y0}^2 (\mathbf{a}_x) + E_{z0}^2 (\mathbf{a}_x)$$
$$(E_{y0}^2 + E_{z0}^2)(\mathbf{a}_x)$$
Kita selesaikan perkalian imajiner
$$e^{-j\beta x} \cdot (e^{j(\beta x + \phi)})$$
$$e^{-j\beta x + j(\beta x + \phi)}$$
$$e^{-j\beta x + j\beta x + j\phi}$$
$$e^{j(-\beta x + \beta x – \phi)}$$
$$e^{j(-\phi)}$$
$$e^{j(-\phi)} = \cos(-\phi) + j\sin(-\phi)$$
Kita selesaikan perkalian keseluruhan
$$\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{|\eta|} \cdot (E_{y0}^2 + E_{z0}^2)(\mathbf{a}_x) \cdot e^{-2\alpha x} \ \text{Re} \ [\cos(-\phi) + j\sin(-\phi)]$$
$$\mathbf{\langle \mathbf{S} \rangle = \frac{E_{y0}^2 + E_{z0}^2}{2|\eta|}\cos(\phi)(\mathbf{a}_x)}$$
- Catatan: bilangan imajiner wajib dibuang karena hanya akan diambil bilangan real
- Catatan: nilai dari $\cos(-\phi)$ sama dengan $\cos(\phi)$
(e) Daya yang Diterima Antena pada $x = d$
Daya total ($P$) adalah integral dari densitas daya terhadap luas penampang antena ($A = w \cdot h$):
$$P = \int \langle \mathbf{S} \rangle \cdot d\mathbf{A}$$
Karena $\langle \mathbf{S} \rangle$ seragam pada bidang $yz$ di jarak $d$:
$$P = |\langle \mathbf{S} \rangle|_{x=d} \times (w \cdot h)$$
$$\mathbf{P = \frac{(E_{y0}^2 + E_{z0}^2) w h}{2|\eta|} e^{-2\alpha d} \cos(\phi) \text{ Watt}}$$
