Tunjukkan bahwa sebuah partikel bermuatan dalam medan magnet seragam (uniform) akan membentuk lintasan orbit lingkaran dengan periode orbit yang tidak bergantung pada jari-jarinya. Temukan hubungan antara kecepatan sudut ($\omega$) dan kerapatan fluks magnetik ($B$) untuk sebuah elektron (dikenal sebagai frekuensi siklotron).
Ketika partikel bermuatan bergerak tegak lurus terhadap medan magnet seragam, ia mengalami gaya magnet yang selalu tegak lurus terhadap arah kecepatannya. Kondisi ini memaksa partikel bergerak dalam lintasan melingkar, di mana gaya magnet berperan sebagai gaya sentripetal.
Dua komponen gaya tersebut adalah
- Gaya Magnet: $F_m = qvB$
- Gaya Sentripetal: $F_c = \frac{mv^2}{R}$
Di mana:
- $q$ = muatan partikel
- $v$ = kecepatan linear
- $B$ = kerapatan fluks magnetik
- $m$ = massa partikel
- $R$ = jari-jari lintasan
Menunjukkan Periode ($T$) Independen terhadap Jari-jari ($R$)
Kita mulai dengan menyamakan gaya magnet dan gaya sentripetal:
$$qvB = \frac{mv^2}{R}$$
Sederhanakan untuk mendapatkan jari-jari ($R$):
$$qvBR = mv^2$$
$$qBR = mv$$
$$R = \frac{mv}{qB}$$
Periode ($T$) adalah waktu yang dibutuhkan untuk satu putaran penuh ($2\pi R$):
$$T = \frac{2\pi R}{v}$$
Substitusikan nilai $R$ ke dalam rumus periode:
$$T = \frac{2\pi \left( \frac{mv}{qB} \right)}{v}$$
$$T = \frac{2\pi mv}{vqB}$$
$$T = \frac{2\pi m}{qB}$$
Karena variabel $R$ hilang dari persamaan akhir, terbukti bahwa periode orbit hanya bergantung pada massa dan muatan partikel serta kuat medan magnet, tetapi tidak bergantung pada jari-jari lintasan atau kecepatannya.
Hubungan Kecepatan Sudut ($\omega$) dan $B$
Kecepatan sudut ($\omega$) didefinisikan sebagai $\omega = \frac{2\pi}{T}$ atau $\omega = \frac{v}{R}$.
Dengan persamaan $T$ di atas:
$$\omega = \frac{2\pi}{\frac{2\pi m}{qB}}$$
$$\omega = 2\pi \cdot \frac{qB}{2\pi m}$$
$$\omega = \frac{qB}{m}$$
Untuk sebuah elektron, muatan $q$ diganti dengan $e$ (muatan elementer):
$$\omega_c = \frac{eB}{m}$$
Hubungan kecepatan sudut (frekuensi siklotron) untuk elektron adalah $\omega = \frac{eB}{m}$. Persamaan ini menunjukkan bahwa semakin kuat medan magnet, semakin cepat partikel berputar.
