Sebuah muatan titik dengan $Q = 2 \times 10^{-16} \text{ C}$ dan $m = 5 \times 10^{-26} \text{ kg}$ bergerak dalam medan gabungan $\mathbf{E} = 100\mathbf{a}_x – 200\mathbf{a}_y + 300\mathbf{a}_z \text{ V/m}$ dan $\mathbf{B} = -3\mathbf{a}_x + 2\mathbf{a}_y – \mathbf{a}_z \text{ mT}$. Jika kecepatan muatan pada $t = 0$ adalah $\mathbf{v}(0) = (2\mathbf{a}_x – 3\mathbf{a}_y – 4\mathbf{a}_z) \times 10^5 \text{ m/s}$, tentukan (a) Vektor satuan yang menunjukkan arah percepatan muatan pada $t = 0$. (b) Energi kinetik muatan pada $t = 0$.
Kita hitung perkalian silang antara vektor kecepatan dengan vektor medan magnet
Perkalian vektor didefinisikan sebagai
$$b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{a_x} & \mathbf{a_y} & \mathbf{a_z} \\ a_{x_1} & a_{y_1} & a_{z_1} \\ a_{x_2} & a_{y_2} & a_{z_2} \end{vmatrix} = (a_{y_1} \cdot a_{z_2} – a_{z_1} \cdot a_{y_2})a_x – (a_{x_1} \cdot a_{z_2} – a_{z_1} \cdot a_{x_2})a_y + (a_{x_1} \cdot a_{y_2} – a_{y_1} \cdot a_{x_2})a_z$$
Kita terapkan pada perkalian vektor kecepatan dengan vektor medan magnet
$$v \times B = (10^5 \cdot 10^{-3}) \begin{vmatrix} \mathbf{a_x} & \mathbf{a_y} & \mathbf{a_z} \\ 2 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$
$$v \times B = 10^2 ((-3) \cdot (-1) – (-4) \cdot 2)a_x – (2 \cdot (-1) – (-4) \cdot (-3))a_y + (2 \cdot 2 – (-3) \cdot (-3))a_z$$
$$v \times B = 10^2 (3 + 8)a_x – (-2 – 12)a_y + (4 – 9)a_z$$
$$\mathbf{v \times B = 1100a_x + 1400a_y – 500a_z}$$
Kita hitung penjumlahan vektor medan listrik dengan sebelumnya
$$E + (v \times B)$$
$$(100a_x – 200a_y + 300a_z) + (1100a_x + 1400a_y – 500a_z)$$
$$\mathbf{1200a_x + 1200a_y – 200a_z}$$
Kita hitung gaya total
$$F = Q(E + (v \times B))$$
$$F = (2 \times 10^{-16})(1200a_x + 1200a_y – 200a_z)$$
$$F = (2400 \times 10^{-16})a_x + (2400 \times 10^{-16})a_y – (400 \times 10^{-16})a_z$$
$$\mathbf{F = (2.4a_x + 2.4a_y – 0.4a_z) \times 10^{-13} \text{ N}}$$
(a) Vektor Satuan Percepatan
Kita cari magnitudo dari gaya
$$|F| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2}$$
$$|F| = \sqrt{(2.4 \times 10^{-13})^2 + (2.4 \times 10^{-13})^2 + (0.4 \times 10^{-13})^2}$$
$$|F| = \sqrt{5.76 \times 10^{-26} + 5.76 \times 10^{-26} + 0.16 \times 10^{-26}}$$
$$|F| = \sqrt{11.68 \times 10^{-26}}$$
$$\mathbf{|F| = 3.418 \times 10^{-13} \text{ N}}$$
Kita cari vektor satuan percepatan
$$a = \frac{F}{m}$$
$$a = \frac{(2.4a_x + 2.4a_y – 0.4a_z) \times 10^{-13}}{3.418 \times 10^{-13}}$$
$$\mathbf{a = 0.702a_x + 0.702a_y – 0.117a_z}$$
(b) Energi Kinetik
Kita cari magnitudo kuadrat dari vektor kecepatan
$$|v|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$$
$$|v|^2 = (2 \times 10^5)^2 + (-3 \times 10^5) + (-4 \times 10^5)^2$$
$$|v|^2 = 4 \times 10^{10} + 9 \times 10^{10} + 16 \times 10^{10}$$
$$\mathbf{|v|^2 = 29 \times 10^{10} \text{ m}^2/\text{ s}^2}$$
Kita cari energi kinetik
$$E = \frac{1}{2}m|v|^2$$
$$E = 0.5 \cdot 5 \times 10^{-26} \cdot 29 \times 10^{10}$$
$$E = 72.5 \times 10^{-16}$$
$$\mathbf{E = 7.25 \text{ fJ}}$$
