Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang diberikan dan jelaskan bagaimana deret Fourier tampak konvergen.
$$f(x) = \frac{x^2}{2}, \ -2 \le x < 2; \ f(x + 4) = f(x)$$
Kita mulai dari verifikasi ganjil atau genap, penyusunan deret Fourier, kemudian menyusunnya agar tampak konvergen
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -1$
Karena nilai $-1$ berada di rentang $-2 \leq x \leq 2$
$$f(-1) = \frac{(-1)^2}{2}$$
$$f(-1) = \frac{1}{2}$$
Misalkan $x = 1$
Karena nilai $1$ berada di rentang $-2 \leq x \leq 2$
$$f(1) = \frac{1^2}{2}$$
$$f(1) = \frac{1}{2}$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-1) = \frac{1}{2}$$
$$-f(1) = -\frac{1}{2}$$
Karena $(f(-1) \neq -f(1))$ maka bukan fungsi ganjil
Kita verifikasi genap terlebih dahulu
Fungsi dikatakan genap jika memenuhi syarat $(f(-x) = f(x))$
$$f(-1) = \frac{1}{2}$$
$$f(1) = \frac{1}{2}$$
Karena $(f(-1) = f(1))$ maka termasuk fungsi ganjil
Karena fungsi termasuk genap, maka kita harus mencari $a_0$ dan $a_n$
Mencari Nilai $a_0$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_0 = \frac{2}{T} \int f(x)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = \frac{x^2}{2} \ \text{dan} \ T = 4$, rumusnya menjadi
$$a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{2} dx$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left[\frac{x^3}{6} \right]_{-2}^{2}$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left[\frac{(2)^3}{6} – \frac{(-2)^3}{6} \right]$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left[\frac{8}{6} + \frac{8}{6} \right)$$
$$a_0 = \frac{1}{2} \left(\frac{16}{6} \right)$$
$$\mathbf{a_0 = \frac{4}{3}}$$
Mencari Nilai $a_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$a_n = \frac{2}{T} \int f(x) \cos \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = \frac{x^2}{2}$ dan $T = 4$, rumusnya menjadi
$$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \ \frac{x^2}{2} \ \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \ dx$$
Kita eksekusi bagian integral
$$a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \ \frac{x^2}{2} \ \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \ dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $\frac{x^2}{2}$ adalah $x$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2}{n \pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$\frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot x$$
$$\frac{x^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot x$$
Kita selesaikan integral kanan dahulu
$$\int x \cdot \frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
- Turunan dari $x$ adalah $1$
- Integral dari $\frac{2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $-\frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
- Integral dari $\frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$ adalah $\frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$
$$x \cdot -\frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \int -\frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \cdot 1$$
$$-\frac{4x}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \int \frac{2^2}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
$$-\frac{4x}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita gabungkan integral tersebut
$$\frac{x^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \left(-\frac{4x}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right)$$
$$\frac{x^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{4x}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{x^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) + \frac{4x}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi x}{2} \right) – \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi x}{2} \right) \right]_{-2}^{2}$$
$$\left[\frac{(2)^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) + \frac{4(2)}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi (2)}{2} \right) – \frac{(-2)^2}{n \pi} \sin \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) – \frac{4(-2)}{n^2 \pi^2} \cos \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) + \frac{2^3}{n^3 \pi^3} \sin \left(\frac{n \pi (-2)}{2} \right) \right]$$
$$\left[\frac{4}{n \pi} \sin (n \pi) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (n \pi) – \frac{8}{n^3 \pi^3} \sin (n \pi) – \frac{4}{n \pi} \sin (-n \pi) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) + \frac{8}{n^3 \pi^3} \sin (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n \pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n \pi)$ adalah 0
$$\left[\frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (n \pi) + \frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right]$$
Catatan: nilai dari $\cos (n \pi)$ sama dengan nilai dari $\cos (-n \pi)$
$$\frac{16}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{16}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi)$$
$$\mathbf{a_n = \frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi)}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Karena fungsi kita $f(x) = \frac{x^2}{2}$ adalah fungsi genap, maka nilai
$b_n = 0$
sehingga rumus deretnya menyusut dan hanya menyisakan suku cosinus saja
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Masukkan nilai
$$a_0 = \frac{4}{3}$$
$$a_n = \frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi)$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\frac{2}{3}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{8}{n^2 \pi^2} \cos (-n \pi) \right] \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{8}{(1)^2 \pi^2} \cos (-(1) \pi) \cos \left(\frac{(1) \pi x}{2}\right) = \frac{8}{\pi^2} \cos (-\pi) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{8}{(2)^2 \pi^2} \cos (-(2) \pi) \cos \left(\frac{(2) \pi x}{2}\right) = \frac{8}{4\pi^2} \cos (-2\pi) \cos \left(\frac{2\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 3$: $\frac{8}{(3)^2 \pi^2} \cos (-(3) \pi) \cos \left(\frac{(3) \pi x}{2}\right) = \frac{8}{9\pi^2} \cos (-3\pi) \cos \left(\frac{3\pi x}{2}\right)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{8}{(4)^2 \pi^2} \cos (-(4) \pi) \cos \left(\frac{(4) \pi x}{2}\right) = \frac{8}{16\pi^2} \cos (-4\pi) \cos \left(\frac{4\pi x}{2}\right)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$f(x) = \frac{1}{3} + \frac{8}{\pi^2} \cos (-\pi) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) + \frac{8}{4\pi^2} \cos (-2\pi) \cos \left(\frac{2\pi x}{2}\right) + \frac{8}{9\pi^2} \cos (-3\pi) \cos \left(\frac{3\pi x}{2}\right) + \frac{8}{16\pi^2} \cos (-4\pi) \cos \left(\frac{4\pi x}{2}\right) + …$$
Kita bisa lakukan sedikit modifikasi
$$f(x) = \frac{1}{3} + \frac{8}{\pi^2} \left(\cos (-\pi) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) + \frac{1}{4} \cos (-2\pi) \cos \left(\frac{2\pi x}{2}\right) + \frac{1}{9} \cos (-3\pi) \cos \left(\frac{3\pi x}{2}\right) + \frac{1}{16} \cos (-4\pi) \cos \left(\frac{4\pi x}{2}\right) + …\right)$$
Konvergensi Deret
Berdasarkan kriteria konvergensi:
Pada titik kontinu
Karena fungsi $f(x) = \frac{x^2}{2}$ kontinu di seluruh domain $[-2, 2]$ dan nilai di ujung periodenya saling menyambung ($f(-2) = f(2) = 2$), maka deret Fourier akan konvergen tepat ke nilai fungsi aslinya di setiap titik $x$.
- Contoh di $x = 1$: Deret akan konvergen tepat ke $f(1) = \frac{1^2}{2} = \mathbf{0.5}$.
- Contoh di $x = -1$: Deret akan konvergen tepat ke $f(-1) = \frac{(-1)^2}{2} = \mathbf{0.5}$.
- Contoh di $x = 0$: Deret akan konvergen tepat ke $f(0) = \frac{0^2}{2} = \mathbf{0}$.
Pada titik diskontinu
Fungsi periodik ini tidak memiliki titik diskontinu pada seluruh domain real ($x \in \mathbb{R}$). Grafik periodik berbentuk gelombang parabolik parabola yang berulang secara mulus tanpa ada lompatan (kontinu di setiap titik ekstrem $\pm 2, \pm 4, \dots$).
Oleh karena itu, tidak ada kondisi di mana deret harus konvergen ke titik tengah lompatan karena nilai limit kiri dan limit kanannya selalu sama di setiap titik. Sebagai contoh, uji kontinuitas di sambungan periode $x = 2$:
$$\frac{f(2^-) + f(2^+)}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \mathbf{2}$$
Nilai ini tepat sama dengan nilai fungsi asli di titik tersebut.
Fenomena Gibbs
Karena fungsi periodik ini sepenuhnya kontinu dan tidak memiliki lompatan diskontinu di sepanjang domainnya, Fenomena Gibbs tidak akan terjadi. Deret Fourier akan mendekati fungsi $f(x) = \frac{x^2}{2}$ dengan mulus seiring bertambahnya jumlah suku ($n$), tanpa menghasilkan overshoot atau lonjakan tajam di titik manapun.
