Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang diberikan dan jelaskan bagaimana deret Fourier tampak konvergen.
$$f(x) = x, \ -1 \le x < 1; \ f(x + 2) = f(x)$$
Kita mulai dari verifikasi ganjil atau genap, penyusunan deret Fourier, kemudian menyusunnya agar tampak konvergen
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -\frac{1}{2}$
Karena nilai $-\frac{1}{2}$ berada di rentang $-1 \leq x < 1$
$$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$
Misalkan $x = \frac{1}{2}$
Karena nilai $\frac{1}{2}$ berada di rentang $-1 \leq x < 1$
$$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$
$$-f(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$
Karena $(f(-\frac{1}{2}) = -f(\frac{1}{2}))$ maka termasuk fungsi ganjil
Karena fungsi termasuk ganjil, maka kita harus mencari $b_n$
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = x$ dan $T = 2$, rumusnya menjadi
$$b_n = \int_{-1}^{1} \ x \ \sin (n \pi x) \ dx$$
Kita eksekusi bagian integral
$$b_n = \int_{-1}^{1} \ x \ \sin (n \pi x) \ dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $x$ adalah $1$
- Integral dari $\sin (n \pi x)$ adalah $-\frac{1}{n\pi} \cos (n \pi x)$
- Integral dari $\cos (n \pi x)$ adalah $\frac{1}{n\pi} \sin (n \pi x)$
Kita selesaikan integrasinya
$$x \cdot -\frac{1}{n\pi} \cos (n \pi x) – \int -\frac{1}{n\pi} \cos (n \pi x) \cdot 1$$
$$-\frac{x}{n\pi} \cos (n \pi x) + \int \frac{1}{n\pi} \cos (n \pi x)$$
$$-\frac{x}{n\pi} \cos (n \pi x) + \frac{1^2}{n^2 \pi^2} \sin (n \pi x)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{x}{n\pi} \cos (n \pi x) + \frac{1}{n^2 \pi^2} \sin (n \pi x) \right]_{-1}^{1}$$
$$\left[-\frac{1}{n\pi} \cos (n \pi) + \frac{1}{n^2 \pi^2} \sin (n \pi) – \frac{1}{n\pi} \cos (-n \pi) – \frac{1^2}{n^2 \pi^2} \sin (-n \pi) \right]$$
- Nilai dari $\sin (n \pi)$ adalah 0
- Nilai dari $\sin (-n \pi)$ adalah 0
$$\left[-\frac{1}{n\pi} \cos (n \pi) – \frac{1}{n\pi} \cos (-n \pi) \right]$$
Catatan: nilai dari $\cos (n \pi)$ sama dengan nilai dari $\cos (-n \pi)$
$$b_n = -\frac{2}{n\pi} (-1)^n$$
$$b_n = \frac{2}{n\pi} (-(-1)^n)$$
$$b_n = \frac{2}{n\pi} (-1 \cdot (-1)^n)$$
Catatan: sesuai sifat pangkat bilangan $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$
$$\mathbf{b_n = \frac{2}{n\pi} (-1)^{n + 1}}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Karena fungsi kita $f(x) = x$ adalah fungsi ganjil, maka nilai
$a_0 = 0$
$a_n = 0$
sehingga rumus deretnya menyusut dan hanya menyisakan suku sinus saja
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin (n\pi x)$$
Masukkan nilai
$$b_n = \frac{2}{n\pi} (-1)^{n + 1}$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{2}{n\pi} (-1)^{n + 1} \right]\sin (n\pi x)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{2}{1 \pi} (-1)^{1 + 1} \sin (1 \pi x)$ = $\frac{2}{\pi} \sin (\pi x)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{2}{2 \pi} (-1)^{2 + 1} \sin (2 \pi x)$ = $-\frac{2}{2\pi} \sin (2 \pi x)$
- Untuk $n = 3$: $\frac{2}{3 \pi} (-1)^{3 + 1} \sin (3 \pi x)$ = $\frac{2}{3\pi} \sin (3 \pi x)$
- Untuk $n = 4$: $\frac{2}{4 \pi} (-1)^{4 + 1} \sin (4 \pi x)$ = $-\frac{2}{4\pi} \sin (4 \pi x)$
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$f(x) = \frac{2}{\pi} \sin (\pi x) – \frac{2}{2\pi} \sin (2 \pi x) + \frac{2}{3\pi} \sin (3 \pi x) – \frac{2}{4\pi} \sin (4 \pi x)$$
Kita bisa lakukan sedikit modifikasi
$$\mathbf{f(x) = \frac{2}{\pi} \left(\frac{1}{1} \sin (\pi x) – \frac{1}{2} \sin (2 \pi x) + \frac{1}{3} \sin (3 \pi x) – \frac{1}{4} \sin (4 \pi x) \right)}$$
Konvergensi Deret
Menurut teorema Dirichlet:
- Pada titik kontinu ($-1 < x < 1$): Deret konvergen tepat ke nilai $x$. Misalnya, pada $x = 0.5$, deret akan menghasilkan nilai $0.5$.
- Pada titik diskontinu ($x = \pm 1, \pm 3, \dots$): Fungsi memiliki lompatan di ujung-ujung intervalnya.
- Limit kiri: $f(1^-) = 1$
- Limit kanan (dari periode berikutnya): $f(1^+) = -1$
- Nilai konvergensi: $\frac{1 + (-1)}{2} = \mathbf{0}$.
- Fenomena Gibbs: Karena adanya diskontinuitas yang tajam di setiap kelipatan ganjil dari $L$, grafik deret Fourier akan mengalami “ayunan” atau overshoot di dekat titik tersebut. Semakin banyak suku ($n$) yang kamu tambahkan, ayunan ini akan semakin merapat ke titik diskontinu tetapi tingginya tetap sekitar 9% dari total lompatan.
