Tentukan deret Fourier untuk fungsi yang diberikan dan jelaskan bagaimana deret Fourier tampak konvergen.
$$f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \le x < 0 \\ 1, & 0 \le x < 2 \\ \end{cases} \ \ \ f(x + 4) = f(x)$$
Kita mulai dari verifikasi ganjil atau genap, penyusunan deret Fourier, kemudian menyusunnya agar tampak konvergen
Identifikasi Ganjil atau Genap
Misalkan $x = -1$
Karena nilai $-1$ berada di rentang $-2 \leq x < 0$
$$f(-1) = -1$$
Misalkan $x = 1$
Karena nilai $1$ berada di rentang $0 \leq x < 2$
$$f(1) = 1$$
Kita verifikasi ganjil terlebih dahulu
Fungsi dikatakan ganjil jika memenuhi syarat $(f(-x) = -f(x))$
$$f(-1) = -1$$
$$-f(1) = -1$$
Karena $(f(-\frac{3}{2}) = -f(\frac{3}{2}))$ maka termasuk fungsi ganjil
Karena fungsi termasuk ganjil, maka kita harus mencari $b_n$
Mencari Nilai $b_n$
Rumus asli deret Fourier adalah
$$b_n = \frac{2}{T} \int f(x) \sin \left(\frac{2n \pi x}{T}\right)$$
Dengan perubahan sesuai nilai $f(x) = -1$ dan $f(x) = 1$ dan $T = 4$, rumusnya menjadi
$$b_n = \frac{1}{2} \left(\int_{-2}^{0} -1 + \int_{0}^{2} 1 \right) \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
$$b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^{0} -1 \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx + \int_{0}^{2} 1 \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
Integral bagian kiri
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-2}^{0} -1 \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $-1$ adalah $0$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$-1 \cdot -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) – \int -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \cdot 0$$
$$\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \right]_{-2}^{0}$$
$$\left[\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2}\right) – \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (-2)}{2}\right) \right]$$
$$\left[\frac{2}{n\pi} \cos (0) – \frac{2}{n\pi} \cos (-n \pi) \right]$$
Maka hasilnya menjadi
$$\mathbf{\frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)}$$
Integral bagian kanan
Kita eksekusi bagian integral
$$\int_{-2}^{0} 1 \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right) dx$$
Kita gunakan teknik integral parsial
$$\int u \ dv = uv – \int v \ du$$
- Turunan dari $1$ adalah $0$
- Integral dari $\sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
- Integral dari $\cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$ adalah $\frac{2}{n\pi} \sin \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$
Kita selesaikan integrasinya
$$1 \cdot -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) – \int -\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \cdot 0$$
$$-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right)$$
Kita uji batas-batasnya
$$\left[-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi x}{2}\right) \right]_{0}^{2}$$
$$\left[-\frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (2)}{2}\right) + \frac{2}{n\pi} \cos \left(\frac{n \pi (0)}{2}\right) \right]$$
$$\left[-\frac{2}{n\pi} \cos (n \pi) + \frac{2}{n\pi} \cos (0) \right]$$
Maka hasilnya menjadi
$$\mathbf{\frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)}$$
Mencari nilai $b_n$
Karena integral bagian kiri dan integral bagian kanan menghasilkan nilai yang sama, maka nilai dari $b_n$ adalah
$$b_n = \frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n) + \frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)$$
$$b_n = \frac{4}{n\pi}(1 – (-1)^n)$$
Kalikan dengan konstanta awal
$$b_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{n\pi}(1 – (-1)^n)$$
Maka nilai dari $b_n$ adalah
$$\mathbf{b_n = \frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)}$$
Penyusunan Deret Fourier
Secara umum, deret Fourier untuk fungsi pada periode ditulis sebagai
$$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{2n\pi x}{T}\right)$$
Karena fungsi kita $f(x) = -1$ dan $f(x) = 1$ adalah fungsi ganjil, maka nilai
$a_0 = 0$
$a_n = 0$
sehingga rumus deretnya menyusut dan hanya menyisakan suku sinus saja
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
Masukkan nilai
$$b_n = \frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)$$
yang sudah didapatkan tadi ke dalam rumus di atas
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{2}{n\pi}(1 – (-1)^n)\right]\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)$$
Sekarang mari kita jabarkan beberapa suku pertamanya
- Untuk $n = 1$: $\frac{2}{(1)\pi}(1 – (-1)^{1}) \sin \left(\frac{(1)\pi x}{2}\right)$ = $\frac{4}{\pi} \sin \left(\frac{\pi x}{2} \right)$
- Untuk $n = 2$: $\frac{2}{(2)\pi}(1 – (-1)^{2}) \sin \left(\frac{(2)\pi x}{2}\right)$ = 0
- Untuk $n = 1$: $\frac{2}{(3)\pi}(1 – (-1)^{3}) \sin \left(\frac{(3)\pi x}{2}\right)$ = $\frac{4}{3\pi} \sin \left(\frac{3\pi x}{2} \right)$
- Untuk $n = 1$: $\frac{2}{(4)\pi}(1 – (-1)^{4}) \sin \left(\frac{(4)\pi x}{2}\right)$ = 0
Gabungkan semua suku di atas ke dalam satu baris persamaan panjang
$$f(x) = \frac{4}{\pi} \sin \left(\frac{\pi x}{2} \right) + \frac{4}{3\pi} \sin \left(\frac{3\pi x}{2} \right) + \frac{4}{5\pi} \sin \left(\frac{5\pi x}{2} \right) + \frac{4}{7\pi} \sin \left(\frac{7\pi x}{2} + … \right)$$
Kita bisa lakukan sedikit modifikasi
$$\mathbf{f(x) = \frac{4}{\pi} \left(\frac{1}{1} \sin \left(\frac{\pi x}{2} \right) + \frac{1}{3} \sin \left(\frac{3\pi x}{2} \right) + \frac{1}{5} \sin \left(\frac{5\pi x}{2} \right) + \frac{1}{7} \sin \left(\frac{7\pi x}{2} \right) + … \right)}$$
Konvergensi Deret
Berdasarkan kriteria konvergensi:
- Pada titik kontinu (seperti $x=1$ atau $x=-1$): Deret akan konvergen tepat ke nilai fungsinya ($1$ atau $-1$).
- Pada titik diskontinu ($x=0, \pm 2, \pm 4, \dots$): Deret akan konvergen ke titik tengah lompatan. Contoh di $x=0$:
$$\frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = \mathbf{0}$$
- Fenomena Gibbs: Di dekat titik diskontinu, akan ada “overshoot” (lonjakan kecil) sekitar 9% dari tinggi lompatan sebelum deretnya stabil.
