Pertimbangkan sebuah elektron bebas yang terikat di dalam dinding potensial tak hingga dua dimensi dengan ukuran $a \times b$ dan persamaan gelombangnya diberikan oleh
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \right) = E\psi$$
Potensial $V$ diberikan oleh
$$V = 0 (\text{pada} \ 0 < x < a)$$
$$V = 0 (\text{pada} \ 0 < y < b)$$
$$\infty \ \text{dimanapun}$$
Temukan solusi untuk $\psi (x, y)$
Soal ini sudah pernah dibahas sebelumnya pada artikel ini. Kamu bisa mempelajarinya lebih dalam karena dijelaskan secara detail di artikel tersebut. Untuk integrasi mencari probabilitas, kamu juga bisa mengunjungi artikel ini.
Teori Dasar
Di dalam kotak $(0 < x < a \ \text{dan} \ 0 < y < b)$, potensial $V = 0$. Persamaan Schrödinger yang tidak bergantung pada waktu disederhanakan menjadi
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} \right) = E\psi$$
Pemisahan Variabel
Kita mengasumsikan solusi tersebut dapat ditulis sebagai hasil perkalian dua fungsi independen
$$\psi(x, y) = X(x)Y(y)$$
Solusi umumnya adalah fungsi sinus
- $X(x) = A \sin (k_x x)$
- $Y(y) = B \sin (k_y y)$
Sehingga persamaan tersebut menjadi
$$\psi(x, y) = A \sin (k_x x) \cdot B \sin (k_y y)$$
Normalisasi PersamaanÂ
Probabilitas menemukan suatu partikel di dalam kotak harus bernilai satu. Probabilitasnya dapat menggunakan rumus
$$\int |\psi (x, y))|^2 dx dy = 1$$
Rumus tersebut dapat dikembangkan menjadi
$$\int_{0}^{b} \int_{0}^{a} |A \sin (k_x x) \cdot B \sin (k_y y)|^2 dx dy = 1$$
Kita bagi integral menjadi
$$\int_{0}^{a} A^2 \sin^2 (k_x x) dx \cdot \int_{0}^{b} B^2 \sin^2 (k_y y) dy$$
Kita integralkan bagian x
$$A^2 \int_{0}^{a} \sin^2 (k_x x) dx$$
$$A^2 \left[\frac{x}{2} – \frac{\sin (2k_x x)}{4 k_x} \right]_{0}^{a}$$
$$A^2 \left[\frac{a}{2} – \frac{\sin (2k_x (a))}{4 k_x} – \frac{0}{2} + \frac{\sin (2k_x (0))}{4 k_x} \right]$$
$$A^2 \left[\frac{a}{2} – \frac{\sin (2k_x (a))}{4 k_x} \right]$$
Sesuai yang sudah pernah dibahas sebelumnya, nilai $k_x$ diubah menjadi
$$k_x = \frac{n_x \pi}{a}$$
Sehingga nilai $\sin$ menjadi
$$\sin (2k_x (a))$$
$$\sin (2a \cdot \frac{n_x \pi}{a})$$
$$\sin (2 n_x \pi)$$
$$0$$
Maka persamaannya menjadi
$$A^2 \cdot \frac{a}{2} = 1$$
$$A \cdot \sqrt{\frac{a}{2}} = 1$$
$$\mathbf{A = \sqrt{\frac{2}{a}}}$$
Kita integralkan bagian y
$$B^2 \int_{0}^{b} \sin^2 (k_y y) dy$$
$$B^2 \left[\frac{y}{2} – \frac{\sin (2k_y y)}{4 k_y} \right]_{0}^{b}$$
$$B^2 \left[\frac{b}{2} – \frac{\sin (2k_y (b))}{4 k_y} – \frac{0}{2} + \frac{\sin (2k_y (0))}{4 k_y} \right]$$
$$B^2 \left[\frac{b}{2} – \frac{\sin (2k_y (b))}{4 k_y} \right]$$
Sesuai yang sudah pernah dibahas sebelumnya, nilai $k_y$ diubah menjadi
$$k_y = \frac{n_y \pi}{b}$$
Sehingga nilai $\sin$ menjadi
$$\sin (2k_y (b))$$
$$\sin (2b \cdot \frac{n_y \pi}{b})$$
$$\sin (2 n_y \pi)$$
$$0$$
Maka persamaannya menjadi
$$B^2 \cdot \frac{b}{2} = 1$$
$$B \cdot \sqrt{\frac{b}{2}} = 1$$
$$\mathbf{B = \sqrt{\frac{2}{b}}}$$
Susun Ulang Persamaan
Persamaan awal adalah
$$\psi(x, y) = A \sin (k_x x) \cdot B \sin (k_y y)$$
Sesuai dengan hasil yang sudah didapatkan, kita substitusikan menjadi
$$\psi(x, y) =Â \sqrt{\frac{2}{a}} \sin \left(\frac{n_x \pi}{a} x \right) \sqrt{\frac{2}{b}} \sin \left(\frac{n_y \pi}{b} y \right)$$
$$\mathbf{\psi(x, y) =Â \sqrt{\frac{4}{ab}} \sin \left(\frac{n_x \pi}{a} x \right) \sin \left(\frac{n_y \pi}{b} y \right)}$$
