Sebuah elektron di ruang bebas dijelaskan oleh gelombang bidang yang diberikan oleh $\psi (x, t) = Ae^{i(kx – \omega t)}$ dimana $k = 1.5 \times 10^9 \ m^{-1}$ dan $\omega = 1,5 \times 10^{13} \ \text{rad/s}$. Hitunglah
(a) Panjang gelombang dan momentum gelombang
(b) Energi total dan energi kinetiknya
Kita selesaikan setiap permasalahan
(a) Panjang Gelombang dan Momentum
Panjang Gelombang ($\lambda$):
Panjang gelombang de Broglie dihubungkan dengan bilangan gelombang melalui rumus:
$$\lambda = \frac{2\pi}{k}$$
$$\lambda = \frac{2 \times 3,14}{1,5 \times 10^9}$$
$$\lambda \approx 4,19 \times 10^{-9} \text{ m} \text{ (atau 4,19 nm)}$$
Momentum ($p$):
Momentum sebuah partikel dalam mekanika kuantum diberikan oleh:
$$p = \hbar k$$
$$p = (1,054 \times 10^{-34}) \times (1,5 \times 10^9)$$
$$p \approx \mathbf{1,58 \times 10^{-25} \text{ kg}\cdot\text{m/s}}$$
b. Energi Total dan Energi Kinetik
Dalam kasus elektron di ruang bebas (partikel bebas), potensialnya adalah $V = 0$. Oleh karena itu, Energi Total ($E$) sama dengan Energi Kinetik ($K$).
- Menghitung Energi Total ($E$) menggunakan Frekuensi:
$$E = \hbar \omega$$
$$E = (1,054 \times 10^{-34}) \times (1,5 \times 10^{13})$$
$$E \approx 1,581 \times 10^{-21} \text{ Joule}$$
- Menghitung Energi Kinetik ($K$) menggunakan Momentum:
$$K = \frac{p^2}{2m}$$
$$K = \frac{(1,58 \times 10^{-25})^2}{2 \times (9,11 \times 10^{-31})}$$
$$K = \frac{2,49 \times 10^{-50}}{1,82 \times 10^{-30}}$$
$$K \approx 1,36 \times 10^{-20} \text{ Joule}$$
Pada elektron bebas, terdapat perbedaan antara energi yang dihitung dari $\hbar \omega$ dan $p^2/2m$ jika hubungan dispersinya tidak standar. Namun, biasanya dalam soal ujian, energi yang dimaksud adalah energi kuantum $E = \hbar \omega$.
Konversi ke eV:
Untuk mengubah Joule ke eV, kita bagi dengan muatan elektron ($1,6 \times 10^{-19} \text{ C}$):
- Berdasarkan $E = \hbar \omega$:
$$E = \frac{1,581 \times 10^{-21}}{1,6 \times 10^{-19}}$$
$$\mathbf{E = 0,00988 \text{ eV}}$$
- Berdasarkan $K = \frac{p^2}{2m}$:
$$K = \frac{1,37 \times 10^{-20}}{1,6 \times 10^{-19}}$$
$$ \mathbf{K = 0,0856 \text{ eV}}$$
