Solusi persamaan Schroedinger untuk situasi tertentu diberikan oleh
$$\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a_0}} e^{{}^{-x}\!/_{a_0}}$$
Tentukan probabilitas menemukan partikel di antara
$$0 \leq x \leq \frac{a_0}{4}$$
Probabilitas ($P$) dihitung dengan mengintegralkan kuadrat fungsi gelombang:
$$P = \int_{0}^{a_0/4} |\psi(x)|^2 dx$$
$$P = \int_{0}^{a_0/4} \left( \sqrt{\frac{2}{a_0}} e^{{}^{-x}\!/_{a_0}} \right)^2 dx $$
$$P = \int_{0}^{a_0/4} \frac{2}{a_0} e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}} dx$$
Keluarkan konstanta dan integralkan eksponensialnya:
$$P = \frac{2}{a_0} \int_{0}^{a_0/4} e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}} dx$$
Integral dari $e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}}$ adalah $-\frac{a_0}{2} e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}}$
$$P = \frac{2}{a_0} \left[-\frac{a_0}{2} e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}} \right]$$
Pindahkan konstanta ke sisi kiri
$$P = \frac{2}{a_0} \cdot \left( -\frac{a_0}{2} \right) \left[ e^{{}^{-2x}\!/_{a_0}} \right]_{0}^{a_0/4}$$
$$P = -1 \cdot \left[ e^{{}^{-2a_0}\!/_{4a_0}} – e^{{}^{0}\!/_{a_0}} \right]$$
$$P = -1 \cdot (e^{-1/2} – 1)$$
Menggunakan nilai $e^{-0,5} \approx 0,6065$:
$$P = -1 \cdot (0,6065 – 1)$$
$$P = -1 \cdot (-0,3935)$$
$$\mathbf{P = 0,3935}$$
