Tunjukkan solusi persamaan Schroedinger yang bergantung pada waktu satu dimensi
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + V\psi$$
bisa diberikan oleh
$$\psi(x,t) = (A \sin kx) e^{-i\omega t}$$
di mana
$$k^2 = \frac{2m}{\hbar^2} (E – V)$$
Menghitung Turunan Terhadap Waktu (Sisi Kiri)
Turunkan $\psi$ terhadap $t$:
$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = (A \sin kx) \frac{\partial}{\partial t} (e^{-i\omega t})$$
$(A \sin kx)$ diabaikan karena tidak mengandung variabel $t$
Turunan dari $e^{\alpha t}$ adalah $\alpha e^{\alpha t}$
$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = (A \sin kx) e^{-i\omega t} (-i\omega)$$
Nilai $(A \sin kx) e^{-i\omega t}$ disederhanakan menjadi $\psi$
$$\frac{\partial \psi}{\partial t} = \psi (-i\omega)$$
Kalikan dengan $i\hbar$:
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = i\hbar \psi (-i\omega)$$
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = (i \cdot -i) \hbar \psi \omega$$
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hbar \psi \omega$$
Nilai dari $(i \cdot -i)$ adalah 1
Karena dalam mekanika kuantum $E = \hbar \omega$, maka:
$$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = E\psi$$
$$\text{Sisi Kiri} = E\psi \quad \dots (1)$$
Menghitung Turunan Terhadap Posisi (Sisi Kanan)
Turunan pertama terhadap $x$:
$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(A \cos kx) e^{-i\omega t}$$
$e^{-i\omega t}$ diabaikan karena tidak mengandung variabel $x$
Turunan dari $\cos (\alpha x)$ adalah $-\alpha \sin (\alpha x)$
$$\frac{\partial \psi}{\partial x} = (- Ak \sin kx) e^{-i\omega t}$$
Turunan kedua terhadap $x$:
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(- Ak \sin kx) e^{-i\omega t}$$
$e^{-i\omega t}$ diabaikan karena tidak mengandung variabel $x$
Turunan dari $\sin (\alpha x)$ adalah $\alpha \cos (\alpha x)$
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = (-Ak^2 \cos kx) e^{-i\omega t}$$
Nilai $(A \sin kx) e^{-i\omega t}$ disederhanakan menjadi $\psi$
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = -k^2 \psi$$
Substitusikan hasil ini ke sisi kanan persamaan Schrödinger:
$$-\frac{\hbar^2}{2m} (-k^2 \psi) + V\psi$$
$$\frac{\hbar^2 k^2}{2m} \psi + V\psi$$
$$\left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} + V \right) \psi (2)$$
Pembuktian dengan Nilai $k^2$
Dari soal, diberikan syarat nilai $k^2$ adalah:
$$k^2 = \frac{2m}{\hbar^2} (E – V)$$
Substitusikan nilai $k^2$ ini ke dalam hasil persamaan (2):
$$\left( \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{2m(E-V)}{\hbar^2} + V \right) \psi$$
$$( (E – V) + V ) \psi = E\psi$$
$$\text{Sisi Kanan} = E\psi \quad \dots (2)$$
Kesimpulan
Setelah kita substitusikan, kita mendapatkan:
- Sisi Kiri: $E\psi$
- Sisi Kanan: $E\psi$
Karena kedua sisi bernilai sama, maka terbukti bahwa $\psi(x,t) = (A \sin kx) e^{-i\omega t}$ adalah solusi yang valid untuk persamaan Schrödinger tersebut.
