Fungsi gelombang di bawah ini merupakan penyelesaian persamaan wilayah Schroedinger
$$-\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2}$$
$$\begin{equation} \psi(x, t) = \begin{cases} A \sin \left(\frac{2 \pi x}{a} \right) e^{-i \omega t} & -\frac{a}{2} \leq x \leq \frac{a}{2} \\ 0 & x < -\frac{a}{2} \ \text{atau} \ x > \frac{a}{2} \end{cases} \end{equation}$$
Hitunglah nilai ekspektasi dari $x$
Analisis Simetri (Cara Cepat)
Fungsi gelombang yang diberikan adalah:
$$\psi(x,t) = A \sin\left(\frac{2\pi x}{a}\right) e^{-i\omega t}$$
Kerapatan probabilitasnya ($P(x)$) adalah:
$$P(x) = |\psi(x,t)|^2 = x |A|^2 \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$$
Fungsi ini didefinisikan pada interval simetris terhadap titik asal, yaitu dari $-\frac{a}{2}$ sampai $+\frac{a}{2}$.
Fungsi $\sin^2$ adalah fungsi ganjil ($f(x) = f(-x)$). Artinya, distribusi probabilitas di sisi kiri $x=0$ sama persis dengan sisi kanan
Karena partikel memiliki probabilitas yang sama untuk berada di posisi $+x$ dan $-x$, maka rata-rata posisinya (nilai ekspektasi) pastilah berada tepat di tengah-tengah rentang tersebut.
Jadi, $\langle x \rangle = 0$.
Perhitungan Formal (Pembuktian)
Nilai ekspektasi dihitung dengan rumus:
$$\langle x \rangle = \int_{-a/2}^{a/2} \psi^* x \psi \, dx$$
Substitusikan fungsi yang diketahui:
$$\langle x \rangle = \int_{-a/2}^{a/2} \left( A^* \sin\frac{2\pi x}{a} e^{i\omega t} \right) x \left( A \sin\frac{2\pi x}{a} e^{-i\omega t} \right) dx$$
$$\langle x \rangle = |A|^2 \int_{-a/2}^{a/2} x \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right) dx$$
Kita coba integralkan fungsi sinus terlebih dahulu
$$\int \sin^2(\theta)dx = \int \frac{1 – \cos(2 \theta)}{2}$$
$$\int \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx = \int \frac{1 – \cos(\frac{4\pi x}{a})}{2}$$
$$\int \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx = \frac{1}{2} \int 1 – \cos \left(\frac{4\pi x}{a} \right)$$
- Integral dari $1$ adalah $x$
- Integral dari $\cos \left(\frac{4\pi x}{a} \right)$ adalah $\frac{a}{4 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right)$
$$\int \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx = \frac{1}{2} \left[x – \frac{a}{4 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right]$$
$$\int \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)dx = \left[\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right]$$
Kita gunakan metode integral parsial
$$\int u dv = uv – \int vdu$$
- Turunan dari x adalah 1
- Integral dari $\sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right)$ adalah $\left(\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right)$
Kita masukkan nilai yang sudah didapatkan
$$\langle x \rangle = |A|^2 \left(\int_{-a/2}^{a/2} x \sin^2\left(\frac{2\pi x}{a}\right) dx \right)$$
$$\langle x \rangle = |A|^2 \left(x \cdot \left(\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right) – \int \left(\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right) \cdot 1 \right)$$
$$\langle x \rangle = |A|^2 \left(\frac{x^2}{2} – \frac{ax}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) – \int \left(\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right)\right)$$
Integral dari $\left(\frac{x}{2} – \frac{a}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right)$ adalah $\left(\frac{x^2}{4} + \frac{a^2}{32 {\pi}^2} \cos \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right)$
$$\langle x \rangle = |A|^2 \left[\frac{x^2}{2} – \frac{ax}{8 \pi} \sin \left(\frac{4\pi x}{a} \right) – \frac{x^2}{4} – \frac{a^2}{32 {\pi}^2} \cos \left(\frac{4\pi x}{a} \right) \right]_{-a/2}^{a/2}$$
$$\langle x \rangle = |A|^2 \left[\frac{a^2}{8} – \frac{a^2}{16 \pi} \sin (2 \pi) – \frac{a^2}{16} – \frac{a^2}{32 {\pi}^2} \cos (2 \pi) – \frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{16 \pi} \sin (-2 \pi) + \frac{a^2}{16} + \frac{a^2}{32 {\pi}^2} \cos (-2 \pi) \right]$$
- Catatan: nilai $\sin (2\pi)$ atau $\sin (-2\pi)$ bernilai 0
- Catatan: nilai $\cos (2\pi)$ atau $\cos (-2\pi)$ bernilai 1
Karena nilai nilai tersebut saling meniadakan, maka hasilnya adalah
$$\langle x \rangle = 0$$
