Aliran laminar simetris aksial dari fluida kental tak termampatkan melalui tabung lurus panjang dengan penampang melingkar di bawah gradien tekanan aksial konstan dikenal sebagai aliran Poiseuille. Kecepatan aksial w merupakan fungsi dari variabel radial r saja dan memenuhi masalah nilai batas
$$w” + \frac{1}{r}w’ = -\frac{G}{\mu}, \ w(R) = 0, \ w(r) \text{dibatasi pada} 0 < r < R$$
di mana R adalah jari-jari tabung, G adalah gradien tekanan, dan μ adalah koefisien viskositas fluida.
(a) Tentukan profil kecepatan w(r).
(b) Dengan mengintegrasikan w(r) di atas suatu penampang, tunjukkan bahwa laju aliran total Q diberikan oleh
$$Q = \frac{\pi R^4 G}{8 \mu}$$
Karena $Q$, $R$, dan $G$ dapat diukur, hasil ini memberikan cara praktis untuk menentukan viskositas μ.
(c) Misalkan R dikurangi menjadi 3/4 dari nilai aslinya. Berapakah pengurangan Q yang sesuai? Hasil ini memiliki implikasi bagi aliran darah melalui arteri yang menyempit akibat plak.
Kita akan selesaikan masing masing permintaan soal
(a) Profil Kecepatan $w(r)$
Persamaannya adalah
$$w” + \frac{1}{r}w’ = -\frac{G}{\mu}$$
Buat ulang persamaan
$$rw” + w’ = -\frac{G}{\mu}r$$
Kita gunakan aturan perkalian untuk memanipulasi sisi kiri
- Turunan dari $r$ adalah $1$
- Turunan dari $w’$ adalah $w”$
Maka kita bisa bentuk sesuai aturan perkalian
Bentuk umum aturan perkalian adalah
$$\frac{d}{dx}[u \cdot v] = (uv’ + u’v)$$
Maka kita bisa manipulasi sisi kiri menjadi
$$\frac{d}{dr}[r \cdot w’] = (rw” + w’)$$
Dengan w’ adalah turunan w terhadap r
$$\frac{d}{dr}\left(r \frac{dw}{dr} \right)$$
Maka persamaannya menjadi
$$\frac{d}{dr}\left(r \frac{dw}{dr} \right) = -\frac{G}{\mu}r$$
Integralkan persamaan
$$\int \frac{d}{dr}\left(r \frac{dw}{dr} \right) = \int -\frac{G}{\mu}r$$
$$r \frac{dw}{dr} = -\frac{G}{2\mu}r^2 + C_1$$
$$\frac{dw}{dr} = -\frac{G}{2\mu}r + \frac{C_1}{r}$$
Integralkan persamaan
$$\int \frac{dw}{dr} = \int -\frac{G}{2\mu}r + \frac{C_1}{r}$$
$$w(r) = -\frac{G}{4\mu}r^2 + C_1 \ln r + C_2$$
Substitusi nilai pertama
$$w(0) = -\frac{G}{4\mu}0^2 + C_1 \ln 0 + C_2$$
Karena $\ln 0 = -\infty$, maka $C_1$ kita paksa menjadi nol
$$\mathbf{C_1 = 0}$$
Substitusi nilai kedua
$$w(R) = -\frac{G}{4\mu}R^2 + 0 + C_2$$
$$0 = -\frac{G}{4\mu}R^2 + C_2$$
$$\mathbf{C_2 = \frac{G}{4\mu}R^2}$$
Bentuk ulang persamaan
$$w(r) = -\frac{G}{4\mu}r^2 + \frac{G}{4\mu}R^2$$
$$\mathbf{w(r) = \frac{G}{4\mu}(R^2 – r^2)}$$
(b) Integrasi Profil Kecepatan untuk Mencari Debit Aliran
Debit adalah perkalian antara laju aliran dengan luas penampang
$$Q = V \times A$$
Dalam bentuk integral, rumusnya menjadi
$$Q = \int v dA$$
Identifikasi beberapa komponen yang diperlukan
- Profil kecepatan: $w(r) = \frac{G}{4\mu}(R^2 – r^2)$
- Luas penampang (lingkaran): $dA = (2 \pi r) dr$
- Batas integrasi: $0 < r < R$
Kita tentukan debitnya
$$Q = \int_{0}^{R} \left(\frac{G}{4\mu}(R^2 – r^2)\right)(2 \pi r)dr$$
$$Q = \frac{2 \pi G}{4 \mu} \int_{0}^{R} (R^2r – r^3)dr$$
$$Q = \frac{\pi G}{2 \mu} \left[\frac{R^2r^2}{2} – \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}$$
$$Q = \frac{\pi G}{2 \mu} \left[\frac{R^4}{2} – \frac{R^4}{4} – \frac{R^20^2}{2} – \frac{0^4}{4}\right]$$
$$Q = \frac{\pi G}{2 \mu} \left[\frac{2R^4}{4} – \frac{R^4}{4} – \frac{0}{2} – \frac{0}{4}\right]$$
$$Q = \frac{\pi G}{2 \mu} \left[\frac{R^4}{4} – 0 – 0 \right]$$
$$Q = \frac{\pi R^4 G}{8 \mu}$$
Catatan: Persamaan ini merupakan Hukum Poiseuille
(C) Pengurangan Nilai Q
Kita substitusikan nilai $R = \frac{3}{4}$ ke dalam persamaan
$$Q_1 = \frac{\pi (\frac{3}{4})^4 G}{8 \mu}$$
$$Q_1 = \frac{81}{256} \cdot \frac{\pi G}{8 \mu}$$
Kita substitusikan nilai $R = \frac{4}{4}$ ke dalam persamaan
$$Q_2 = \frac{\pi (\frac{4}{4})^4 G}{8 \mu}$$
$$Q_2 = \frac{256}{256} \cdot \frac{\pi G}{8 \mu}$$
Kita bandingkan berapa banyak pengurangannya
$$\Delta Q = \frac{256}{256} – \frac{81}{256}$$
$$\Delta Q = \frac{175}{256}$$
$$\Delta Q = 0,6835 = 68,35%$$
Inilah alasan mengapa plak di arteri sangat berbahaya. Meskipun arteri hanya menyempit sedikit (25%), jumlah darah yang bisa lewat berkurang secara drastis (hampir 68,35%) karena ketergantungan pangkat empat terhadap jari-jari.
