(a) Hitung jari-jari $r$ atom pengotor yang hanya akan masuk ke dalam situs oktahedral FCC ketentuan jari-jari atom $R$ atom tuan rumah (tanpa memasukkan strain kisi).
(b) Ulangi bagian (a) untuk situs tetrahedral FCC. (Catatan: Anda mungkin harus melihat Gambar 4.3a.)
Untuk menghitung jari-jari atom pengotor, kita harus melakukan modelling yang baik. Modelling yang baik umumnya menjadikan atom pengotor sebagai pusat dari kubus. Jarak dari atom pengotor dengan atom dari kubus terdekat inilah yang wajib kita perhitungkan.
(a) Posisi Situs Oktahedral
Lihat koordinat situs oktahedral, situs tersebut terletak pada koordinat $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Artinya posisi situs oktahedral terletak pada titik $\frac{1}{2}$ dari koordinat $x$, titik $\frac{1}{2}$ dari koordinat $y$, dan titik $\frac{1}{2}$ dari koordinat $z$.
Dengan memposisikan situs tersebut sebagai pusat, kita bisa menarik suatu garis dari pusat kubus dengan pusat muka. Garis tersebut berupa setengah rusuk kubus dan terdiri dari jari-jari atom biasa dan jari-jari atom pengotor.
$$\frac{a}{2} = R + r \implies a = 2R + 2r$$
Hal tersebut juga berlaku sama pada koordinat $(0,\frac{1}{2},1)$. Jarak dari atom pengotor dengan atom pusat muka sama seperti sebelumnya, yaitu setengah rusuk kubus.
$$\frac{a}{2} = R + r \implies a = 2R + 2r$$
Pada atom FCC, hubungan jari-jari atom dengan rusuk kubus adalah
$$a = \frac{4R}{\sqrt{2}}$$
Substitusikan nilai untuk mendapatkan hubungan jari-jari atom pengotor dengan jari-jari atom biasa.
$$2R + 2r = \frac{4R}{\sqrt{2}}$$
$$2\sqrt{2}R + 2\sqrt{2}r = 4R$$
$$2\sqrt{2}R + 2\sqrt{2}r – 2\sqrt{2} = 4R – 2\sqrt{2}R$$
$$2\sqrt{2}r = 4R – 2\sqrt{2}R$$
$$2\sqrt{2}r = (4 – 2\sqrt{2})R$$
$$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}r = \frac{(2\sqrt{4} – 2\sqrt{2})}{2\sqrt{2}}R$$
$$r = (\sqrt{2} – 1)R$$
$$r = (1,414 – 1)R$$
$$\mathbf{r = 0,414R}$$
(b) Posisi Situs Tetrahedral
Lihat koordinat situs oktahedral, situs tersebut terletak pada koordinat $(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4})$. Artinya posisi situs oktahedral terletak pada titik $\frac{1}{4}$ dari koordinat $x$, titik $\frac{3}{4}$ dari koordinat $y$, dan titik $\frac{1}{4}$ dari koordinat $z$.
Untuk mempermudah proyeksinya, kita belah kubus tersebut menjadi kubus dengan rusuk sebesar $\frac{1}{2}a$. Kubus tersebut akan terbagi menjadi 4 kubus di bawah dan 4 kubus di atas. Kita ambil kubus di bagian pojok kanan atas tetapi bagian bawah. Kita mulai dari titik asal $(0,1,0)$ dan titik seberang $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Kubus ini memenuhi syarat yang kita butuhkan, yaitu atom pengotor dengan koordinat $(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{4})$ sebagai pusat kubus tersebut.
Pada titik asal, terdapat satu atom sudut yang berasal dari kubus aktual. Namun, pada titik seberangnya, tidak ada atom sudut. Garis diagonal yang melewati adalah setengah diagonal kubus. Sayangnya, karena tidak ada atom seberang, maka proyeksi yang masuk akal adalah garis dari atom pusat menuju atom pengotor saja, sedangkan diagonal yang terpakai adalah seperempat diagonal kubus aktual, karena tidak melewati diameter atom pengotor.
Dengan memposisikan situs tersebut sebagai pusat, kita mendapatkan suatu garis yang melewati jari-jari atom sudut dan jari-jari atom pengotor. Ini dianggap sebagai seperempat diagonal ruang kubus.
$$\frac{a\sqrt{3}}{4} = R + r$$
Pada atom FCC, hubungan jari-jari atom dengan rusuk kubus adalah
$$a = \frac{4R}{\sqrt{2}}$$
Substitusikan nilai untuk mendapatkan hubungan jari-jari atom pengotor dengan jari-jari atom biasa.
$$\frac{\frac{4R}{\sqrt{2}}\sqrt{3}}{4} = R + r$$
$$\frac{4R}{\sqrt{2}}\sqrt{3} = 4R + 4r$$
$$4R\sqrt{3} = 4R\sqrt{2} + 4r\sqrt{2}$$
$$4R\sqrt{3} – 4R\sqrt{2} = 4R\sqrt{2} + 4r\sqrt{2} – 4R\sqrt{2}$$
$$4R\sqrt{3} – 4R\sqrt{2} = 4r\sqrt{2}$$
$$\sqrt{3}R – \sqrt{2}R = \sqrt{2}r$$
$$1,732R – 1,414R = 1,414r$$
$$0,318R = 1,414r$$
$$r = \frac{0,318}{1,414}R$$
$$\mathbf{r = 0,224R}$$
