Tentukan nilai eigen dan fungsi eigen dari nilai batas yang diberikan. Asumsikan semua nilai eigen tersebut adalah nyata.
$$x^2y” + xy’ + \lambda y = 0, \ y(1) = 0, \ y(L) = 0, \ L > 1$$
Untuk menyelesaikan masalah ini, kita gunakan beberapa tahap penyelesaian
Transformasi Persamaan
Untuk mentransformasikan persamaan, kita bisa gunakan substitusi variabel
Misalkan $x = e^t$, maka nilai $t$ adalah $\ln x$
Hal ini sesuai hubungan eksponensial dengan logaritma natural, yaitu $e^{\ln x} = x$
Kita turunkan nilai $t$ dan hasilnya
$$t = \ln x$$
$$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$$
Kita ingin mencari nilai $\frac{dy}{dx}$ dalam bentuk $\frac{dt}{dx}$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x}$$
Dengan demikian, kita mendapatkan
$$x \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}$$
Kita cari bentuk turunan keduanya
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x}\right)$$
Kita gunakan aturan perkalian
$$\frac{d}{dx}[u \cdot v] = [u’v + u’v]$$
Dengan nilai yang ada, kita mendapatkan
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x}\right]$$
Turunan dari $\frac{1}{x}$ adalah $-\frac{1}{x^2}$
Kita turunkan suku kedua
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dt}\right]$$
$$\left(\frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}\right) \cdot \frac{dy}{dt}$$
$$\left(\frac{d}{dt} \cdot \frac{dy}{dt}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$$
$$\frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{1}{x}$$
Bentuk ulang aturan perkalian
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \left[\frac{dy}{dt} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right) \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \right]$$
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \left[-\frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{d^2y}{dt^2} \cdot \frac{1}{x^2} \right]$$
$$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2} – \frac{dy}{dt}$$
Substitusi ulang ke persamaan awal
$$x^2y” + xy’ + \lambda y = 0$$
$$\frac{d^2y}{dt^2} – \frac{dy}{dt} + \frac{dy}{dt} + \lambda y = 0$$
$$\frac{d^2y}{dt^2} + \lambda y = 0$$
Penyelesaian Persamaan
Dengan persamaan yang didapatkan
$$\frac{d^2y}{dt^2} + \lambda y = 0$$
Solusinya adalah
$$\frac{d^2y}{dt^2} = -\lambda y$$
$$y”(t) = -\lambda$$
Kita gunakan solusi $y = e^{rt}$
$y = e^{rt}$
$y’ = re^{rt}$
$y” = r^2e^{rt}$
Substitusi ke persamaan awal
$$\frac{d^2y}{dt^2} + \lambda y = 0$$
$$r^2e^{rt} + \lambda e^{rt} = 0$$
$$r^2 + \lambda = 0$$
$$r^2 = -\lambda$$
$$r^2 = \pm \sqrt{\lambda} i$$
Dengan akar-akar imajiner, fungsi yang dapat dibentuk adalah
$$y(t) = c_1 \cos (\sqrt{\lambda}t) + c_2 \sin (\sqrt{\lambda}t)$$
Dengan $x = \ln t$, fungsi dapat disusun ulang
$$y(x) = c_1 \cos (\sqrt{\lambda}\ln x) + c_2 \sin (\sqrt{\lambda}\ln x)$$
Uji Nilai Batas
Substitusi nilai pertama
$$y(1) = c_1 \cos (\sqrt{\lambda}\ln 1) + c_2 \sin (\sqrt{\lambda}\ln 1)$$
$$0 = c_1 \cos (\sqrt{\lambda}0) + c_2 \sin (\sqrt{\lambda}0)$$
$$0 = c_1 \cos (0) + c_2 \sin (0)$$
$$0 = c_1 + 0$$
$$\mathbf{c_1 = 0}$$
Substitusi nilai kedua
$$y(L) = c_2 \sin (\sqrt{\lambda}\ln L)$$
$$0 = c_2 \sin (\sqrt{\lambda}\ln L)$$
Agar memiliki solusi trivial, maka nilai dari $c_2$ tidak boleh $0$. Artinya, bagian yang bisa membuat nilai menjadi nol adalah $\sin (\sqrt{\lambda}\ln L)$.
$\sin (\sqrt{\lambda}\ln L)$ bernilai nol apabila $\sqrt{\lambda}\ln L = n \pi$
Manipulasi aljabar untuk mencari nilai $\lambda$
$$\lambda (n \pi)^2 = (\ln L)^2$$
$$\lambda = \frac{(n \pi)^2}{(\ln L)^2}$$
$$\mathbf{\lambda = \left(\frac{n \pi}{\ln L}\right)^2}$$
Dengan fungsi yang ada, fungsi eigennya adalah
$$y(x) = c_2 \sin \left(\sqrt{\left(\frac{n \pi}{\ln L}\right)^2}\ln x \right)$$
$$\lambda{y(x) = c_2 \sin \left(\frac{n \pi}{\ln L} \ln x \right)}$$
$$y(x) = c_2 \sin \left(\frac{n \pi ln x}{\ln L}\right)$$
